【题目】己知抛物线与x轴交于A,B两点(点d在点B的右侧),与y轴交于点,顶点为D.
(I)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标:
(Ⅱ)Q为线段BD上一点,点A关于∠AQB的平分线的对称点为A',
①判断点A'与直线BQ的位置关系:点 (填写“在”或“不在”)直线BQ上:
②若,求点2的坐标:
(Ⅲ)若此抛物线的对称轴上的点P满足,求点P的坐标。
【答案】(I),顶点D的坐标为;(II)①在; ②点Q的坐标为;(Ⅲ)点P的坐标为或
【解析】
(1)将C点代入函数解析式,可求出解析式,并进行配方,即可得到定点坐标;
(2)①由对称的角度特点及角平线即可判断A'与直线BQ的位置关系;
②先求出抛物线与x轴胡交点,在求出BD的解析式,从而得到E点坐标,根据,A’点坐标,从而,建立方程即可求解.
(3)作△ABC的外接圆,由题意可知P在圆I与二次函数的对称轴上,再根据内心的特点得,从而建立方程得到I胡坐标,根据即可求解.
解:(I)把点C的坐标代入地物线解析式,得,
解得
故该抛物线的解析式为
∴顶点D的坐标为
(II)①在
②∵点A关于的平分线的对称点为
三点在一条直线上,且
当时,
解得
设直线BD的解析式为,
由,得直线BD的解析式为
直线BD与y轴交点为
作轴于点N
∵点Q在线段BD上,三点在一条直线上,
∴点的坐标为
∵点Q在线段BD上,
设点Q的坐标为,其中
解得
在内
∴点Q的坐标为
(Ⅲ)作△ABC的外接圆,设与抛物线的对轴位于x轴下方的部分的交点为点P,点P关于x轴的对称点为点
可知圆心I必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称辅直线上
都是所对的圆周角,
设圆心
由,得
点P的坐标为
由对称性得点的坐标为
符合题意的点P的坐标为或
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【题目】在中,,点在以为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图1中作弦,使;
(2)在图2中以为边作一个45°的圆周角.
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【题目】地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题,如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图,其中,AB⊥BD,∠BAD=18°,C在BD上,BC=0.5m.根据规定,地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志,以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小刚认为CD的长就是所限制的高度,而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小刚和小亮谁说得对?请你判断并计算出正确的限制高度.(结果精确到0.1m,参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.325)
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【题目】在紧张的中考复习之际,为确保学生的饮食健康与安全,部分家长组织成立中考护卫小分队,每天不辞辛劳从城区进购正规检疫菜品。某甲、乙两种菜品每份进价分别为 14 元、16 元,售价均为每份 18 元,这两种菜品每天的进价总额为 1480 元,全部销售完每天总利润为 320 元.
(1)该甲、乙两种菜品每天各卖出多少份?
(2)因受气温变化的影响,甲种菜品进价每份上涨 a 0 a 4元,为确保学生的营养,在每天两种菜品的进购总量不变的情况下,要求甲种菜品的数量不得低于 10 份,也不超过乙种菜品的 3 倍,则进购甲种菜品多少份才能使每天的总利润最大.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点A,B,C均在格点上,
(I)△ABC是_____________三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”):
(Ⅱ)若P,Q分别为边AB,BC上的动点,当PC+PQ取得最小值时,在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段PC,PQ,并简要说明点2的位置是如何找到的(不要求证明).
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【题目】在矩形中,,将其沿对角线折叠,顶点的对应点,交于点如图1,再折叠,使点落在处,折痕交于,交于,交于,得到图2,则折痕的长为____________.
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【题目】解方程:
(1)(x+1)2﹣4=0;
(2)12(2﹣x)2﹣9=0;
(3)x(3x+2)﹣6(3x+2)=0
(4)(x+2)2﹣16=0;
(5)(2x+3)2﹣25=0;
(6)4(1﹣3x)2=1.
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【题目】如图①所示,在△ABC中,点O是AC上一点,过点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.
【问题引入】
(1)若点O是AC的中点, ,求的值;
温馨提示:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A,C重合),求证: ;
【拓展应用】
(3)如图②所示,点P是△ABC内任意一点,射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,E,F.若, ,求的值.
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