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【题目】己知抛物线x轴交于AB两点(点d在点B的右侧),与y轴交于点,顶点为D.

I)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标:

(Ⅱ)Q为线段BD上一点,点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'

①判断点A'与直线BQ的位置关系:点 (填写“在”或“不在”)直线BQ上:

②若,求点2的坐标:

(Ⅲ)若此抛物线的对称轴上的点P满足,求点P的坐标。

【答案】I,顶点D的坐标为;(II)①在; ②点Q的坐标为;(Ⅲ)点P的坐标为

【解析】

1)将C点代入函数解析式,可求出解析式,并进行配方,即可得到定点坐标;

2)①由对称的角度特点及角平线即可判断A'与直线BQ的位置关系;

②先求出抛物线与x轴胡交点,在求出BD的解析式,从而得到E点坐标,根据A’点坐标,从而,建立方程即可求解.

3)作△ABC的外接圆,由题意可知P在圆I与二次函数的对称轴上,再根据内心的特点得,从而建立方程得到I胡坐标,根据即可求解.

解:(I)把点C的坐标代入地物线解析式,得

解得

故该抛物线的解析式为

∴顶点D的坐标为

II)①在

②∵点A关于的平分线的对称点为

三点在一条直线上,且

时,

解得

设直线BD的解析式为

,得直线BD的解析式为

直线BDy轴交点为

轴于点N

∵点Q在线段BD上,三点在一条直线上,

∴点的坐标为

∵点Q在线段BD上,

设点Q的坐标为,其中

解得

∴点Q的坐标为

(Ⅲ)作△ABC的外接圆,设与抛物线的对轴位于x轴下方的部分的交点为点P,点P关于x轴的对称点为点

可知圆心I必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称辅直线

都是所对的圆周角,

设圆心

,得

P的坐标为

由对称性得点的坐标为

符合题意的点P的坐标为

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