Question

【题目】如图1在平面直角坐标系中，、，满足，为的中点，是线段上一动点，是轴正半轴上一点，且，于．

（1）求的度数；

（2）如图2，设，当点运动时，的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求的值；

（3）如图3，设，若，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）∠OAB=45°；（2）PE的值不变．理由见解析；（3）D(66，0)．

【解析】

（1）根据非负数的性质即可求得a，b的值，从而得到△AOB是等腰直角三角形，据此即可求得；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质可以得到∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，则OC=PE，OC的长度根据等腰直角三角形的性质可以求得；
（3）利用等腰三角形的性质，以及外角的性质证得∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，根据全等三角形的对应边相等，即可求得OD的长，从而求得D的坐标．

（1）根据题意得：

，
解得：a=b=3，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°．
（2）PE的值不变．理由如下：
∵△AOB为等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=45°
又∵OC⊥AB于C，
∵PO=PD
∴∠POD=∠PDO
当P在BC上时，
∵∠POD=45°+∠POC，∠PDO=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE
在△POC和△DPE中，
,
∴△POC≌△DPE，
∴OC=PE
又OC＝AB＝3
∴PE=3；
当P在AC上时，∠POD=45°-∠POC，∠PDO=45°-∠DPE，
则∠POC=∠DPE．
同理可得PE=3；
（3）∵OP=PD，
∴∠POD=∠PDO= =67.5°，
则∠PDA=180°-∠PDO=180°-67.5°=112.5°，
∵∠POD=∠A+∠APD，
∴∠APD=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BPO=180°-∠OPD-∠APD=112.5°，
∴∠PDA=∠BPO
则在△POB和△DPA中，
，
∴△POB≌△DPA（AAS）．
∴PA=OB=3，
∴DA=PB=6-3，
∴OD=OA-DA=3-（6-3）=6-6
∴D(66，0)．