Question

【题目】抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(0，﹣3)．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，判断△CBD的形状；

（3）直线BN∥x轴，交抛物线于另一点N，点P是直线BN下方的抛物线上的一个动点（点P不与点B和点N重合），过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，当四边形BPNQ的面积最大时，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）△BCD是直角三角形；（3）P(，﹣)

【解析】

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）先求出点C、点D的坐标，再进行判断即可；

（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜2），列式表示S四边形BPNQ，然后根据二次函数的性质求解即可．

解：（1）根据题意得，

解得

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图1，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

则C（3，0），

∴OC＝3，

∵B（0，﹣3），

∴OB＝3＝OC，

∴∠OBC＝45°，

由（1）知，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），

过点D作DE⊥y轴于E，

∴DE＝1，OE＝4，

∴BE＝OE﹣OB＝1＝DE，

∴∠DBE＝45°，

∴∠CBD＝180°﹣∠DBE﹣∠OBC＝90°，

∴△BCD是直角三角形；

（3）如图，由抛物线的对称性知，N（2，﹣3），

∴BN＝2，

∵BN∥x轴，PQ⊥x轴，

∴BN⊥PQ，

设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜2），

∵B（0，﹣3），C（3，0），

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

∴Q（m，m﹣3），

∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，

∴S四边形BPNQ＝S△PBQ+S△PNQ＝PQBN＝ [﹣（m﹣）2+]×2＝﹣（m﹣）2，

当m＝时，S四边形BPNQ最大，最大值为，此时P（，﹣）．