【题目】如图,中,,以为坐标原点建立直角坚标系,使点在轴正半轴上,,,点为边的中点,抛物线的顶点是原点,且经过点
(1)填空:直线的解析式为 ;抛物线的解析式为 .
(2)现将该抛物线沿着线段移动,使其顶点始终在线段上(包括点,),抛物线与轴的交点为,与边的交点为;
①设的面积为,求的取值范围;
②是否存在这样的点,使四边形为平行四边形?如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由.
【答案】(1)y=2x,y=x2 ;(2)①,②存在,
【解析】
(1)本题须先求出点C的坐标然后即可求出直线OC的解析式和抛物线的解析式;
(2)①根据抛物线的移动规律设出抛物线的解析式,求出△BOE的面积S与m的关系,再根据m的取值范围即可求出S的取值范围;
②根据平行四边形的性质即可得出m的值.
解:(1)∵OA=2,AB=8,点C为AB边的中点,
∴点C的坐标为(2,4)点,
设直线的解析式为y=kx
则4=2k,解得k=2
∴直线的解析式为y=2x,
设抛物线的解析式为y=kx2
则4=4k,解得k=1
∴抛物线的解析式为y=x2;
(2)设移动后抛物线的解析式为y=(x-m)2+2m,
① ∵,
,
又∵,
∴;
②存在点D,使四边形BDOC为平行四边形,
当OD=BC,四边形BDOC为平行四边形,
∴OD=BC==4,
则可得x=0时y=4,
∴m2+2m=4,
∴(m+1)2=5,
解得或(舍去),
所以,
∴.
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【题目】某校“心灵信箱”的设立,为师、生之间的沟通开设了一个书面交流的渠道.为了解九年级学生对“心灵信箱”开通两年来的使用情况,某课题组对该校九年级全体学生进行了一次问卷调查,并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
两年来,你通过“心灵信箱”给老师总共投递过几封信? |
A.没投过 B.一封 C.两封 D.三封或以上 |
根据以上图表,解答下列问题:
(1)该校九年级学生共有____人;
(2)学生调查结果扇形统计图中,扇形的圆心角度数是______;
(3)请你补全条形统计图;
(4)根据调查结果可以推断:两年来,该校九年级学生通过“心灵信箱”投递出信件总数至少有_____封.
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【题目】如图,△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,将△ABC绕着点C顺时针旋转α(0≤α≤90°),得到△EFC,EF与AB、AC相交于点D、H,FC与AB相交于点G、AC相交于点D、H,FC与AB相较于点G.
(1)求证:△GBC≌△HEC;
(2)在旋转过程中,当α是多少度时四边形BCED可以是某种特殊的平行四边形?并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点坐标为,点的坐标为,一次函数的图象经过点B、C,反比例函数的图象也经过点.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式;
(2)观察图象直接写出图象在第二象限时,的解集.
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【题目】如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,3)、B(﹣1,0)、C(4,0).
(1)经过平移,可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合,则点C的对应点C1的坐标为 ;(不用画图)
(2)在图中画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A′BC′;
(3)以点A为位似中心放大△ABC,得到△AB2C2,使S△ABC:S=1:4,在图中画出△AB2C2.
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【题目】如图是小莉在一次放风筝活动中某时段的示意图,她在A处时的风筝线(整个过程中风筝线近似地看作直线)与水平线构成37°角,线段AA1表示小红身高1.5米.当她从点A跑动4米到达点B处时,风筝线与水平线构成60°角,此时风筝到达点E处,风筝的水平移动距离CF为8米,这一过程中风筝线的长度保持不变,求风筝原来的高度C1D.
(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75.)
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【题目】阅读下面的材料:
如果函数满足:对于自变量的取值范围内的任意,,
(1)若,都有,则称是增函数;
(2)若,都有,则称是减函数.
例题:证明函数是减函数.
证明:设,
.
∵,∴,.∴.即.
∴.∴函数()是减函数.
根据以上材料,解答下面的问题:
己知函数(),
(1)计算:_______,_______;
(2)猜想:函数()是_______函数(填“增”或“减”);
(3)请仿照例题证明你的猜想.
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【题目】抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(0,﹣3).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,判断△CBD的形状;
(3)直线BN∥x轴,交抛物线于另一点N,点P是直线BN下方的抛物线上的一个动点(点P不与点B和点N重合),过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q,当四边形BPNQ的面积最大时,求出点P的坐标.
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