Question

抛物线y=-x²经过平移得到的抛物线的顶点坐标是（

5

2

，

9

4

），抛物线与x轴的交点为A，与y轴交点为点B．
（1）求抛物线的表达式；  
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，求P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）抛物线平移后的二次项系数不变，利用顶点式方程写出抛物线解析式即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式求得点A、B的坐标．设P（x，0）（x＞0），利用等腰三角形的性质和两点间的距离公式可以求得x的值；

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²经过平移得到的抛物线的顶点坐标是（

5

2

，

9

4

），
∴平移后的抛物线解析式为：y=-（x-

5

2

）²+

9

4

．

（2）设P（x，0）（x＞0）．
由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y=-（x-

5

2

）²+

9

4

．
当y=0时，-（x-

5

2

）²+

9

4

=0，
解得 x₁=1，x₂=4，
即：A（0，1）或（0，4）．
当x=0时，y=-4，即B（0，-4）．
①当A（0，1）时，AB=

1+42

=

17

，
则x-1=

17

，
故x=1+

17

．
所以 P（1+

17

，0）；
②当A（0，4）时，AB=

1+42

=

17

，
则x-4=

17

，
故x=4+

17

．
所以 P（4+

17

，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标是：（1+

17

，0）或（4+

17

，0）．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．