Question

已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线BD与AC交于D，求证：BC=

5 -1

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AB．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：证明题

分析：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠C=72°，再利用角平分线的定义得∠ABD=

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∠ABC=36°，则DA=DB，于是可证明△BDC∽△ABC，利用相似比得到CD：BC=BC：AC，利用等线段代换CD：AD=AD：AC，于是可根据黄金分割的定义得AD=

5 -1

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AC，即有BC=

5 -1

2

AB．

解答：证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵∠ABC的平分线BD与AC交于D，
∴∠ABD=

1

2

∠ABC=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∵∠C=∠ABC=∠BDC=72°，
∴△BDC∽△ABC，
∴CD：BC=BC：AC，
∴CD：AD=AD：AC，
∴AD=

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AC，
∴BC=

5 -1

2

AB．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

5 -1

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AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．