Question

【题目】如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）．

（1）求抛物线y1所对应的函数解析式；

（2）如图1，点M在抛物线y1上，横坐标为m，连接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值；

（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）m的值为或﹣2+；（3）P点坐标为（0，）或P（2，﹣）．

【解析】

(1)根据A、C两点的坐标用待定系数法求出解析式；

(2)如图，当M点在x轴上方时，若∠M1CB＝∠DAC，则DA∥CM1，先求直线AD的解析式，由点C的坐标可求出直线CM1的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点M1的坐标，当点M在x轴下方时，由轴对称的性质可求出直线CM2的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点M的坐标；

(3)先求出y2的解析式，可设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求P点坐标．

(1)由题意得：，解得，

抛物线y1所对应的函数解析式为；

(2)当x＝﹣1时，y＝=1，

∴D(﹣1，1)，

设直线AD的解析式为y＝kx+n，

∴，解得：，

∴直线AD的解析式为y＝x+，

如图，①当M点在x轴上方时，

∵∠M1CB＝∠DAC，

∴DA∥CM1，

设直线CM1的解析式为y＝x+b1，

∵直线经过点C，

∴-+b1=0，解得：b1=，

∴直线CM1的解析式为y＝x+，

∴ ，

解得：x=-2+，x=-2-(舍去)，

∴m＝﹣2+，

②当点M在x轴下方时，直线CM2与直线CM1关于x轴对称，

由轴对称的性质可得直线CM2的解析式为y＝-x-，

∴，解得：x=或x＝﹣(舍去)，

∴m=，

综合以上可得m的值为或﹣2+；

(3)∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B(1，0)，

∴，

即y2=，

设P(m，)，则Q(m，)，

∴R(2﹣m，)，

①当P在Q点上方时，

PQ＝1﹣m，QR＝2﹣2m，

∵△PQR与△ACD全等，

∴当PQ＝DC且QR＝AC时，m＝0，

∴P(0，)，R(2，﹣)，

当PQ＝AC且QR＝DC时，无解；

②当点P在Q点下方时，

同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣2，

m﹣1＝1，

∴m＝2，

则P(2，)，R(0，﹣)，

综合可得P点坐标为(0，)或P(2，)．