Question

【题目】如图，AC是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，BC的中点为 E，连接DE．

（1）求证：BE DE；

（2）连接EO交⊙O于点 F．填空：

①当∠B __________时，以 D，E，C，O为顶点的四边形是正方形；

②当∠B __________时，以 A，D，F，O为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.

【解析】

（1）由题意根据直角三角形斜边中线的性质即可证明；

（2）①如图2-1中，当∠B=45°时，以D，E，C，O为顶点的四边形是正方形；

②如图2-2中，结论：∠B=45°；利用①结论证明DE=OA，DE∥OA即可.

（1）证明：连接CD，OD，OE．

∵AC是直径，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∵BE=EC，

∴DE=CE=BE，

∴BE=DE．

（2）①如图2-1中，当∠B=45°时，以D，E，C，O为顶点的四边形是正方形；

理由：∵BC是⊙O的切线，

∴AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

∵OD=OC，OE=OE，DE=CE，

∴△EOD≌△EOC（SSS），

∴∠EDO=∠ECO=90°，

∵EB=ED，

∴∠B=∠EDB=45°，

∴∠DEC=∠B+∠EDB=90°，

∴四边形DECO是矩形，

∵OD=OC，

∴四边形DECO是正方形．

故答案为：45°．

②如图2-2中，结论：∠B=45°．

当∠B=45°时，由①可知四边形DECO是正方形．

∴DE∥OC，DE=OC，

∵OC=OA，

∴DE=OA，DE∥OA，

∴四边形ADEO是平行四边形．

故答案为：45°．