Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21.动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.

(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

(2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶底的三角形是等腰三角形？

（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；

（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）S= ;(2) t秒；（3） ；（4）t=9，理由见解析.

【解析】试题分析：

(1)△BPQ的高PM=CD，把底BQ用t表示即可；

(2)用t表示出△BPQ的三边，分三种情况建立关于t的方程求解；

(3)过点Q作QE⊥AD，垂足为E，在直角△PQE中分别用t表示出两条直角边，由2OA=OB，结合相似三角形的性质，建立方程求得t，用正切的定义求解；

(4)假设存在时刻t，使得PQ⊥BD，由Rt△BDC∽Rt△QPE，列方程求解.

试题解析：

(1)如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形.

∴PM=DC=12，

∴S=；

(2)由图可以知道：CM=PD=2t，CQ=t

以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

①若PQ=BQ

在Rt△PMQ中，，

由

计算得出t=；

②若BP=BQ

在Rt△PMB中，

由BP2=BQ2得：

即

因为此方程无解。

∴PB≠BQ

③若PB=PQ

由

整理，得

计算得出

综合上面的讨论可以知道：当t三点为顶点的三角形是等腰三角形。

(3)如图，由△OAP∽△OBQ，得

∵AP=2t-21，BQ=16-t

∴2(2t-21)=16-t

∴t=

过点Q作QE⊥AD，垂足为E，

∵PD=2t，ED=QC=t，

∴PE=t。

在Rt△PEQ中，tan∠QPE=

又∵AD∥BC

∴∠BQP=∠QPE

∴tan∠BQP=.

(4)设存在时刻t，使得PQ⊥BD

如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E.

∵AD∥BC

∴∠BQP=∠EPQ

∵∠BFQ=∠C=90°

∴∠BQF=∠BDC，

∴∠BDC=∠EPQ

又∵∠C=∠PEQ=90°，

∴Rt△BDC∽Rt△QPE

∴。

解得t=9.

所以，当t=9秒时，PQ⊥BD.