【题目】二次函数y=ax2+c的图象经过点A(﹣4,3),B(﹣2,6),点A关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P是抛物线对称轴右侧图象上的一点,点G(0,﹣1).
(1)求出点C坐标及抛物线的解析式;
(2)若以A,C,P,G为顶点的四边形面积等于30时,求点P的坐标;
(3)若Q为线段AC上一动点,过点Q平行于y轴的直线与过点G平行于x轴的直线交于点M,将△QGM沿QG翻折得到△QGN,当点N在坐标轴上时,求Q点的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+7,点C的坐标为(4,3);(2)P点坐标为(,)或(6,﹣2);(3)Q点坐标为(﹣4,3)或(﹣4,﹣3)或(﹣,3)或(,3).
【解析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式,然后利用抛物线的对称性确定C点坐标;
(2)设P(x,﹣x2+7)(x>0),讨论:当点P在AC上方时,如图1,利用S四边形AGCP=S△GAC+S△PAC列方程84+8(﹣x2+7﹣3)=30,当点P在AC下方时,如图2,AC与y轴交于点E,利用S四边形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC列方程44+x4+4(3+x2﹣7)=30,然后分别解方程可得到对应的P点坐标;
(3)当点N落在y轴上,如图3,利用折叠性质得∠QNG=∠QMG=90°,QN=QM=4,易得Q点的坐标;当点N落在x轴上,QM与x轴交于点F,如图4,设Q(t,3)(﹣4≤t<0),利用折叠性质得∠QNG=∠QMG=90°,QN=QM=4,GN=GM=﹣t,由于FN=,OF=﹣t,ON=,则﹣t=,解方程得到此时Q点的坐标,当0<t≤4,同理可得Q点的坐标.
(1)∵二次函数y=ax2+c的图象经过点A(﹣4,3),B(﹣2,6),∴,解得:,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+7.
∵二次函数y=ax2+c的图象的对称轴为y轴,点A(﹣4,3),∴点C的坐标为(4,3).
(2)设P(x,﹣x2+7)(x>0),当点P在AC上方时,如图1,S四边形AGCP=S△GAC+S△PAC=84+8(﹣x2+7﹣3),∴84+8(﹣x2+7﹣3)=30,解得:x1=,x2=﹣(舍去),此时P点坐标为();
当点P在AC下方时,如图2,AC与y轴交于点E,S四边形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC=44+x4+4(3+x2﹣7),∴44+x4+4(3+x2﹣7)=30,解得:x1=6,x2=﹣10(舍去),此时P点坐标为(6,﹣2).
综上所述:P点坐标为()或(6,﹣2);
(3)QN=3﹣(﹣1)=4,当点N落在y轴上,如图3.
∵△QGM沿QG翻折得到△QGN,∴∠QNG=∠QMG=90°,QN=QM=4,∴N点为AC与y轴的交点,∴Q点的坐标为(﹣4,3)或(﹣4,﹣3);
当点N落在x轴上,QM与x轴交于点F,如图4,设Q(t,3)(﹣4≤t<0)
∵△QGM沿QG翻折得到△QGN,∴∠QNG=∠QMG=90°,QN=QM=4,GN=GM=﹣t.在Rt△OFN中,FN==,而OF=﹣t,ON=﹣t=,解得:t=﹣,此时Q点的坐标为(﹣,3),当0<t≤4,易得Q点的坐标为(,3).
综上所述:Q点坐标为(﹣4,3)或(﹣4,﹣3)或(﹣,3)或(,3).
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【题目】已知如图,在 ABC 中,BAC 90° ,分别过顶点 B、C 作 A 点的直线的垂线垂足分别为 D、E,试探究线段 BD、CE、DE 之间的关系.
(1)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 1 的位置,直接写出 BD、CE、DE 之间的数量 为 ;
(2)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 2 的位置,直接写出 BD、CE、DE 之间的数量 为 ;
(3)当直线 DE 绕点 A 旋转至如图 3 的位置,写出 BD、CE、DE 之间的数量,并证明 你的结论;
(4)如图 4,如果将 ABC 放在直角坐标系中,若点 A 的坐标为(-1,1),求 OB-OC 的 值.请写出必要的解答步骤.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC为 度.
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【题目】已知点D,E,F分别是△ABC的边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,DF∥AC.
(1)如图1,点G是线段FD延长线上一点,连接EG,∠CEG的平分线EM交AB于点M,交FD于点N.则∠A,∠AME,∠CEG之间存在怎样的数量关系?请写出证明过程;
(2)如图2,在(1)的条件下,若EG平分∠AED,∠AME=35°,且∠EDF﹣∠A=30°,求∠C的度数.
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【题目】△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作菱形ADEF,使∠DAF=60°,连接CF.
(1)观察猜想:如图1,当点D在线段BC上时,①AB与CF的位置关系为: ;
②BC,CD,CF之间的数量关系为: .
(2)数学思考:如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸:如图3,当点D在线段BC的延长线上时,设AD与CF相交于点G,若已知AB=4,CD=AB,求AG的长.
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【题目】边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点,P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动,过P做PF⊥DE,当运动时间为__________秒时,以点P、F、E为顶点的三角形与△AED相似
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【题目】如图,有、、三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )
A.在∠A、∠B两内角平分线的交点处
B.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
C.在AC、BC两边高线的交点处
D.在AC、BC两边中线的交点处
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【题目】如图,已知长方形ABCD中,∠A=∠D=∠B=∠C=90,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm.
(1)求证:AF=DE.
(2)若AD+DC=18,求AE的长.
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【题目】已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(﹣1,0),动点P在反比例函数y=的图象上运动,当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时,点P的坐标为_____.
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