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【题目】ABCBAC=60°,AB=ACD为直线BC上一动点(点D不与BC重合)AD为边在AD右侧作菱形ADEF使∠DAF=60°,连接CF

1)观察猜想如图1当点D在线段BC上时ABCF的位置关系为   

BCCDCF之间的数量关系为   

2)数学思考如图2当点D在线段CB的延长线上时结论①②是否仍然成立?若成立请给予证明若不成立请你写出正确结论再给予证明.

3)拓展延伸如图3当点D在线段BC的延长线上时ADCF相交于点G若已知AB=4CD=ABAG的长.

【答案】(1) ①ABCF ; ②BC=CD+CF;(2)见解析;(3

【解析】1①根据菱形的性质以及等边三角形的性质推出△DAB≌△FAC根据全等三角形的性质即可得到结论②根据全等三角形的性质得到CF=BD再根据BD+CD=BC即可得出CF+CD=BC

2)依据△ABD≌△ACF即可得到∠ACF+∠BAC=180°,进而得到ABCF依据△ABD≌△ACF可得BD=CF依据CDBD=BC即可得出CDCF=BC

3)判定△ABD≌△ACF即可得到CF=BD=BC+CD=6ACG=ABC=60°=ADF再根据△AGC∽△FGD即可得到==进而得出AG的长.

1①∵∠BAC=60°,AB=AC∴△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°=DAF∴∠BAD=CAF

又∵菱形ADEFAD=AF∴△ABD≌△ACF∴∠ACF=ABD=60°.

又∵∠ACB=60°,∴∠ABC+∠BCF=180°,ABCF

②∵△ABD≌△ACFBD=CF

又∵BD+CD=BCCF+CD=BC

故答案为:ABCFCF+CD=BC

2)结论①成立而结论②不成立.证明如下

如图2∵∠BAC=60°,AB=AC∴△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°=DAFABD=120°,∴∠BAD=CAF

又∵菱形ADEFAD=AF∴△ABD≌△ACF∴∠ACF=ABD=120°.

又∵∠CAB=60°,∴∠ACF+∠BAC=180°,ABCF

∵△ABD≌△ACF BD=CF

又∵CDBD=BCCDCF=BC

3)如图3连接DFAAHBDHAH=2DH=2+2=4RtADHAD=2

AF=ADDAF=60°,∴△ADF是等边三角形.

又∵∠BAC=60°,AB=AC∴∠BAD=CAF∴△ABD≌△ACFCF=BD=BC+CD=6ACG=ABC=60°=ADF

又∵∠AGC=FGD∴△AGC∽△FGD===∴可设AG=4xFG=2xCG=62xDG=24x=解得x=AG=

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