【题目】△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作菱形ADEF,使∠DAF=60°,连接CF.
(1)观察猜想:如图1,当点D在线段BC上时,①AB与CF的位置关系为: ;
②BC,CD,CF之间的数量关系为: .
(2)数学思考:如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸:如图3,当点D在线段BC的延长线上时,设AD与CF相交于点G,若已知AB=4,CD=AB,求AG的长.
【答案】(1) ①AB∥CF ; ②BC=CD+CF;(2)见解析;(3).
【解析】(1)①根据菱形的性质以及等边三角形的性质,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质即可得到结论;②根据全等三角形的性质得到CF=BD,再根据BD+CD=BC,即可得出CF+CD=BC;
(2)依据△ABD≌△ACF,即可得到∠ACF+∠BAC=180°,进而得到AB∥CF;依据△ABD≌△ACF可得BD=CF,依据CD﹣BD=BC,即可得出CD﹣CF=BC;
(3)判定△ABD≌△ACF,即可得到CF=BD=BC+CD=6,∠ACG=∠ABC=60°=∠ADF,再根据△AGC∽△FGD,即可得到==,进而得出AG的长.
(1)①∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF.
又∵菱形ADEF中,AD=AF,∴△ABD≌△ACF,∴∠ACF=∠ABD=60°.
又∵∠ACB=60°,∴∠ABC+∠BCF=180°,∴AB∥CF;
②∵△ABD≌△ACF,∴BD=CF.
又∵BD+CD=BC,∴CF+CD=BC.
故答案为:AB∥CF;CF+CD=BC;
(2)结论①成立,而结论②不成立.证明如下:
如图2.∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°=∠DAF,∠ABD=120°,∴∠BAD=∠CAF.
又∵菱形ADEF中,AD=AF,∴△ABD≌△ACF,∴∠ACF=∠ABD=120°.
又∵∠CAB=60°,∴∠ACF+∠BAC=180°,∴AB∥CF;
∵△ABD≌△ACF, ∴BD=CF.
又∵CD﹣BD=BC,∴CD﹣CF=BC;
(3)如图3,连接DF,过A作AH⊥BD于H,则AH=2,DH=2+2=4,∴Rt△ADH中,AD=2.
∵AF=AD,∠DAF=60°,∴△ADF是等边三角形.
又∵∠BAC=60°,AB=AC,∴∠BAD=∠CAF,∴△
又∵∠AGC=∠FGD,∴△AGC∽△FGD,∴===,∴可设AG=4x,则FG=2x,CG=6﹣2x,DG=2﹣4x,∴=,解得:x=,∴AG=.
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【题目】如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,下列结论错误的是( )
A. 当小球抛出高度达到7.5m时,小球水平距O点水平距离为3m
B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C. 小球落地点距O点水平距离为7米
D. 斜坡的坡度为1:2
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【题目】为进一步推广“阳光体育”大课间活动,某中学对已开设的A实心球,B立定跳远,C跑步,D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况,进行调查,随机抽取了部分学生,并将调查结果绘制成图1、图2的统计图,请结合图中的信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了多少名学生?
(2)请计算本项调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比,并将两个统计图补充完整;
(3)在扇形统计图,请计算本项调查中喜欢“跑步”部分所对应的圆心角的度数;
(4)如果全校共1200名同学,请你估算喜欢“跑步”的学生人数.
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【题目】2017年12月全市组织了计算机等级考试,江南中学九(1)班同学都参加了计算机等级考试,分第一试场、第二试场、第三试场,下面两幅统计图反映原来安排九(1)班考生人数,请你根据图中的信息回答下列问题:
(1)该班参加第三试场考试的人数为_____,并补全频数分布直方图;
(2)根据实际情况,需从第一试场调部分学生到第三试场考试,使第一试场的人数与第三试场的人数比为2:3,应从第一试场调多少学生到第三试场?
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【题目】为了解某校九年级男生1000米跑的水平,从中随机抽取部分男生进行测试,并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度;
(3)学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率.
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【题目】如图,直线y=﹣2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C.
(1)求k的值及C点坐标;
(2)直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称,且与y轴交于点B',与双曲线y=交于D、E两点,求△CDE的面积.
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【题目】如图,数轴上有三个点、、,表示的数分别是、、3,请回答:
(1)若使、两点的距离与、两点的距离相等,则需将点向左移动_________个单位长度;
(2)点、、开始在数轴上运动,若点以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,运动秒钟后:
①点、、表示的数分别是________、________、________(用含的式子表示);
②若点与点之间的距离表示为,点与点之间的距离表示为.试问:的值是否随着时间的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求出值.
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