Question

4．已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．
（1）证明：PE=PF；
（2）若PF=26，sinA=$\frac{5}{13}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由PE是⊙O的切线，易证得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，继而可证得∠PEF=∠PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF；
（2）首先过点P作PG⊥EF于点G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PF•sinA=26×$\frac{5}{13}$=10，又由等腰三角形的性质，求得答案．

解答 解：（1）∵PE是⊙O的切线，
∴∠PEO=90°，
∴∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，
∵OE=OA，
∴∠A=∠AEO，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；
（2）过点P作PG⊥EF于点G，

∴∠PGF=∠ABF=90°，
∵∠PFG=∠AFB，
∴∠FPG=∠A，
∴FG=PF•sinA=26×$\frac{5}{13}$=10，
∵PE=PF，
∴EF=2FG=20．

点评 此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．