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【题目】已知抛物线过点两点,与y轴交于点C

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)过点A,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;

(3)P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当面积最大时,求点P的坐标;

(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)抛物线的表达式为:,顶点(2)证明见解析;(3)(4)存在,的最小值为

【解析】

(1)设交点式,利用待定系数法进行求解即可;

(2)先证明四边形ADBM为菱形,再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证;

(3)先求出直线BC的解析式,过点Py轴的平行线交BC于点N,设点,则点N,根据可得关于x的二次函数,继而根据二次函数的性质进行求解即可;

(4)存在,如图,过点C作与y轴夹角为的直线CFx轴于点F,过点A,垂足为H,交y轴于点Q 此时,则最小值,求出直线HCAH的解析式即可求得H点坐标,进行求得AH的长即可得答案.

(1)函数的表达式为:

即:,解得:

故抛物线的表达式为:

则顶点

(2)

A(1,0)B(3,0),∴ OB=3OA=1

AB=2

又∵D(2-1)

AD=BD=

AM=MB=AD=BD

∴四边形ADBM为菱形,

又∵

菱形ADBM为正方形;

(3)设直线BC的解析式为y=mx+n

将点BC的坐标代入得:

解得:

所以直线BC的表达式为:y=-x+3

过点Py轴的平行线交BC于点N

设点,则点N

,故有最大值,此时

故点

(4)存在,理由:

如图,过点C作与y轴夹角为的直线CFx轴于点F,过点A,垂足为H,交y轴于点Q

此时

最小值

RtCOF中,∠COF=90°,∠FOC=30°OC=3tanFCO=

OF=

F(-0)

利用待定系数法可求得直线HC的表达式为:①,

∵∠COF=90°,∠FOC=30°

∴∠CFO=90°-30°=60°,

∵∠AHF=90°

∴∠FAH=90°-60°=30°

OQ=AOtanFAQ=

Q(0,)

利用待定系数法可求得直线AH的表达式为:②,

联立①②并解得:

故点,而点

的最小值为

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T

每件的售价/

每件的成本/

50

60

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