【题目】已知抛物线过点,两点,与y轴交于点C,.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)过点A作,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当面积最大时,求点P的坐标;
(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的表达式为:,顶点;(2)证明见解析;(3)点;(4)存在,的最小值为.
【解析】
(1)设交点式,利用待定系数法进行求解即可;
(2)先证明四边形ADBM为菱形,再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证;
(3)先求出直线BC的解析式,过点P作y轴的平行线交BC于点N,设点,则点N,根据可得关于x的二次函数,继而根据二次函数的性质进行求解即可;
(4)存在,如图,过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F,过点A作,垂足为H,交y轴于点Q, 此时,则最小值,求出直线HC、AH的解析式即可求得H点坐标,进行求得AH的长即可得答案.
(1)函数的表达式为:,
即:,解得:,
故抛物线的表达式为:,
则顶点;
(2),,
∵A(1,0),B(3,0),∴ OB=3,OA=1,
∴AB=2,
∴,
又∵D(2,-1),
∴AD=BD=,
∴AM=MB=AD=BD,
∴四边形ADBM为菱形,
又∵,
菱形ADBM为正方形;
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n,
将点B、C的坐标代入得:,
解得:,
所以直线BC的表达式为:y=-x+3,
过点P作y轴的平行线交BC于点N,
设点,则点N,
则,
,故有最大值,此时,
故点;
(4)存在,理由:
如图,过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F,过点A作,垂足为H,交y轴于点Q,
此时,
则最小值,
在Rt△COF中,∠COF=90°,∠FOC=30°,OC=3,tan∠FCO=,
∴OF=,
∴F(-,0),
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为:…①,
∵∠COF=90°,∠FOC=30°,
∴∠CFO=90°-30°=60°,
∵∠AHF=90°,
∴∠FAH=90°-60°=30°,
∴OQ=AOtan∠FAQ=,
∴Q(0,),
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为:…②,
联立①②并解得:,
故点,而点,
则,
即的最小值为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】定义:若函数与轴的交点的横坐标为,,与轴交点的纵坐标为,若,中至少存在一个值,满足(或),则称该函数为友好函数.如图,函数与轴的一个交点的横坐标为-3,与轴交点的纵坐标为-3,满足,称为友好函数.
(1)判断是否为友好函数,并说明理由;
(2)请探究友好函数表达式中的与之间的关系;
(3)若是友好函数,且为锐角,求的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,边长为6的正方形中,分别是上的点,,为垂足.
(1)如图①, AF=BF,AE=2,点T是射线PF上的一个动点,则当△ABT为直角三角形时,求AT的长;
(2)如图②,若,连接,求证:.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某学校艺术节计划为学生购买A、B两种奖品,已知购买40件A种奖品和购买60件B种奖品共需2600元,购买35件A种奖品和购买70件B种奖品共需2800元.
(1)求A、B两种奖品的单价各为多少元?
(2)若学校购买A、B两种奖品共100件,且购买这批奖品的总费用不超过2800元,求最多购买B奖品多少件?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的方格纸中,将等腰△ABC绕底边BC的中点O旋转180°.
(1)画出旋转后的图形;
(2)观察:旋转后得到的三角形与原三角形拼成什么图形?
(3)若要使拼成的图形为正方形,那么△ABC应满足什么条件?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,F是⊙O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,CE=2,
①求值;
②若点G 为AE上一点,求OG+EG最小值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在中,,点在边上运动,连接,以为一边且在的右侧作正方形.
(1)如果,如图①,试判断线段与之间的位置关系,并证明你的结论;
(2)如果,如图②,(1)中结论是否成立,说明理由.
(3)如果,如图③,且正方形的边与线段交于点,设,,,请直接写出线段的长.(用含的式子表示)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲,乙两种T恤共400件,其每件的售价与进货量(件)之间的关系及成本如下表所示:
T恤 | 每件的售价/元 | 每件的成本/元 |
甲 | 50 | |
乙 | 60 | |
(1)当甲种T恤进货250件时,求两种T恤全部售完的利润是多少元;
(2)若所有的T恤都能售完,求该商店获得的总利润(元)与乙种T恤的进货量(件)之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,已知两种T恤进货量都不低于100件,且所进的T恤全部售完,该商店如何安排进货才能使获得的利润最大?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,已知,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,若点是直线上方的抛物线上一动点,过点作轴的平行线交直线于点,作于点,当点的横坐标为时,求的面积;
(3)若点为抛物线上的一个动点,以点为圆心,为半径作,当在运动过程中与直线相切时,求点的坐标(请直接写出答案).
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com