Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，将∠CAB绕点A旋转，得到∠C′AB′，射线AC′交直线BC于点E，射线AB′交直线BC于点F，当EF=10时，CF=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：分类讨论

分析：分类讨论：
当将∠CAB绕点A逆时针α得到∠C′AB′，如图1，设CE=x，则CF=EF+CE=10+x，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAF=α，则∠CAF=45°+α，根据正切的定义，在Rt△ACE中有tanα=

CE

AC

=

x

6

，在Rt△ACF中有tan（45°+α）=

CF

AC

=

x+10

6

，再利用三角函数公式得tan（45°+α）=

tan45°+tanα

1-tan45°•tanα

，
所以

1+ x 6

1-1• x 6

=

x+10

6

，整理得x²+10x-24=0，然后解方程可得CE=2；
当将∠CAB绕点A顺时针α得到∠C′AB′，如图2，设CE=x，则CF=CE-EF=x-10，根据旋转的性质得∠CAE=α，∠B′AC′=∠BAC=45°，则∠CAF=α-45°，再根据正切的定义，在Rt△ACE中有tanα=

CE

AC

=

x

6

，在Rt△ACF中有tan（α-45°）=

CF

AC

=

x-10

6

，然后利用三角函数公式得到tan（α-45°）=

tanα-tan45°

1+tanα•tan45°

，则

x 6 -1

1+1• x 6

=

x-10

6

，整理得x²-10x-24=0，再解方程即可得到CE=12．

解答：解：当将∠CAB绕点A逆时针α得到∠C′AB′，如图1，
设CE=x，则CF=EF+CE=10+x，
∵∠ACB=90°，AC=BC=6，
∴∠ABC=45°，
∵∠CAB绕点A逆时针α得到∠C′AB′，
∴∠CAE=∠BAF=α，
∴∠CAF=45°+α，
在Rt△ACE中，tanα=

CE

AC

=

x

6

，
在Rt△ACF中，tan（45°+α）=

CF

AC

=

x+10

6

，
∵tan（45°+α）=

tan45°+tanα

1-tan45°•tanα

，
∴

1+ x 6

1-1• x 6

=

x+10

6

，
整理得x²+10x-24=0，解得x₁=2，x₂=-12（舍去），
∴CE=2；
（2）当将∠CAB绕点A顺时针α得到∠C′AB′，如图2，
设CE=x，则CF=CE-EF=x-10
∵∠ACB=90°，AC=BC=6，
∴∠BAC=45°，
∵∠CAB绕点A逆时针α得到∠C′AB′，
∴∠CAE=α，∠B′AC′=∠BAC=45°，
∴∠CAF=α-45°，
在Rt△ACE中，tanα=

CE

AC

=

x

6

，
在Rt△ACF中，tan（α-45°）=

CF

AC

=

x-10

6

，
∵tan（α-45°）=

tanα-tan45°

1+tanα•tan45°

，
∴

x 6 -1

1+1• x 6

=

x-10

6

，
整理得x²-10x-24=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=12，
∴CE=12，
综上所述，CE的长为2或12．
故答案为2或12．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角函数公式．