Question

9．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（-4，0），C（-4，3）动点F在BC上（不与B、C重合）过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与边AB交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D，G
（1）若k=-4，求△OEF的面积；
（2）若k=-$\frac{21}{8}$，试说明点C关于EF的对称点在x轴上；
（3）证明：若DE•EG=$\frac{25}{12}$，则k=-1．

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得E、F的坐标，可求得S_矩形AOBC、S_△AOE、S_△BOF、S_△CEF，由面积的和差可求得△OEF的面积；
（2）可在x轴上找一点N，使EN=EC，再证明NF=CF即可说明C和N关于x轴对称；
（3）可设出E、F的坐标，从而可表示出直线EF的解析式，可表示出DE、EG，结合条件可求得E点坐标，代入可求得k的值为-1．

解答 解：（1）∵k=-4，且OA=3，OB=4，
∴E（-$\frac{4}{3}$，3），F（-4，1），
∴AE=$\frac{4}{3}$，BF=1，
∴CE=AC-AE=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，CF=BC-BF=3-1=2．
∴S_△OEF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△CEF
=S_矩形AOBC-$\frac{1}{2}$OA•AE-$\frac{1}{2}$OB•BF-$\frac{1}{2}$CE•CF
=4×3-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=12-2-2-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
即△OEF的面积为$\frac{16}{3}$；
（2）∵k=-$\frac{21}{8}$，
∴E（-$\frac{7}{8}$，3），F（-4，$\frac{21}{32}$），
∴AE=$\frac{7}{8}$，BF=$\frac{21}{32}$，
∴CE=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$，CF=3-$\frac{21}{32}$=$\frac{75}{32}$．
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM=3，OM=$\frac{7}{8}$；
在线段BM上取一点N，使得EN=CE=$\frac{25}{8}$，连接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN=$\sqrt{E{N}^{2}-E{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{7}{8}$，
∴BN=OB-OM-MN=4-$\frac{7}{8}$-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{4}$．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF=$\sqrt{B{N}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{9}{4}）^{2}+（\frac{21}{32}）^{2}}$=$\frac{75}{32}$．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称；
（3）不妨设k=-12m，则E（-4m，3），F（-4，3m）（其中m为不为1正数）．
设直线EF的解析式为y=ax+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-4ma+b=3}\\{-4a+b=3m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=3m+3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{4}$x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=-4m-4，∴G（-4m-4，0）．
如上图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=OD-OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG-OM=（4m+4）-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m=$\frac{25}{12}$，解得m=$\frac{1}{12}$，
∴k=-12m=-1．

点评 本题综合考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．