Question

如图所示，在矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC边的三等分点，连接AE，AF，AC．请问图中是否存在非全等的相似三角形，并指出．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,矩形的性质

专题：

分析：先由矩形的性质得出∠B=90°，设AB=k，则BC=3AB=3k，根据三等分点的定义得出BE=EF=FC=

1

3

BC=k，由勾股定理，求出AE=

AB2+BE2

=

2

k，AF=

AB2+BF2

=

5

k，AC=

AB2+BC2

=

10

k，再通过计算得到

AE

CE

=

AF

CA

=

EF

EA

，从而判定△EAF∽△ECA．

解答：解：图中存在非全等的相似三角形，是△EAF∽△ECA．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°．
设AB=k，则BC=3AB=3k．
∵E、F是BC边的三等分点，
∴BE=EF=FC=

1

3

BC=k．
由勾股定理，得AE=

AB2+BE2

=

2

k，
AF=

AB2+BF2

=

5

k，
AC=

AB2+BC2

=

10

k．
在△EAF与△ECA中，
∵

AE

CE

=

2 k

2k

=

2

2

，

AF

CA

=

5 k

10 k

=

2

2

，

EF

EA

=

k

2 k

=

2

2

，
∴

AE

CE

=

AF

CA

=

EF

EA

，
∴△EAF∽△ECA．

点评：本题考查了相似三角形的判定，难度适中．判定两三角形相似的方法有：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
同时考查了矩形的性质及勾股定理．