Question

是否存在这样的实数a，b，使得对于每个正整数n≥2，
（1）a+b是有理数，而aⁿ+bⁿ是无理数；
（2）a+b是无理数，而aⁿ+bⁿ是有理数．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：存在型,分类讨论

分析：（1）可通过举例说明存在实数a，b，使得对于每个正整数n≥2，a+b是有理数时，aⁿ+bⁿ都是无理数．
（2）可分三种情况（①实数a、b都是有理数，②实数a、b中一个是有理数另一个是无理数，③实数a、b都是无理数）进行讨论，即可解决问题．

解答：解：（1）存在．
比如：当a=1-

2

，b=

2

时，
对于每个正整数n≥2，都有a+b=1是有理数，aⁿ+bⁿ=（1-

2

）ⁿ+（

2

）ⁿ都是无理数．
事实上，当a=m+x，b=n-x（其中x是无理数，m、n是有理数，且m+n≠0）时，
对于每个正整数n≥2，都有a+b=m+n是有理数，aⁿ+bⁿ=（m+x）ⁿ+（n-x）ⁿ都是无理数．

（2）不存在．
理由如下：
①实数a、b都是有理数，
此时a+b是有理数，与条件“a+b是无理数”矛盾，故舍去．
②实数a、b中一个是有理数另一个是无理数，
此时a+b是无理数，aⁿ、bⁿ必有一个是有理数另一个是无理数．
所以aⁿ+bⁿ必是无理数，而不是有理数．
③实数a、b都是无理数，
因为a+b是无理数，
所以a与b不可能是互为相反数．
所以aⁿ与bⁿ也不可能互为相反数，即aⁿ+bⁿ≠0．
因为实数a是无理数，
所以aⁿ、aⁿ⁺¹（n≥2）中至少有一个是无理数．
同理：bⁿ、bⁿ⁺¹（n≥2）中至少有一个是无理数．
Ⅰ．若aⁿ、bⁿ都是有理数，
则aⁿ⁺¹、bⁿ⁺¹都是无理数．
因为aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹≠0，
所以aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹是无理数．
Ⅱ．若aⁿ、bⁿ只有一个是有理数，
则aⁿ+bⁿ必是无理数．
Ⅲ．若aⁿ、bⁿ都是无理数，
因为aⁿ+bⁿ≠0，
所以aⁿ+bⁿ必是无理数．
综上所述：不能保证对于每个正整数n≥2，当a+b是无理数时，aⁿ+bⁿ都是有理数．
故符合要求的实数a、b不存在．

点评：本题主要考查了有理数及无理数的运算，用到了“有理数与有理数的加、减、乘、除、乘方运算结果仍为有理数”，“有理数与无理数的和是无理数”，“非零的有理数与无理数的乘积是无理数等知识，还考查了分类讨论的思想，而正确理解条件“对于每个正整数n≥2”的含义”是解决本题的关键．