【题目】已知:如图,Rt△CDE中,∠ABC=∠CDE=90°,且BC与CD共线,联结AE,点M为AE中点,联结BM,交AC于点G,联结MD,交CE于点H
(1)求证:MB=MD;
(2)当AB=BC,DC=DE时,求证:四边形MGCH为矩形.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析
【解析】
(1)延长BM交DE的延长线于N,如图,根据平行线分线段成比例定理,由AB∥DN得到=,加上AM=ME,则BM=MN,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到MB=MD;
(2)根据平行线分线段成比例定理,由AB∥NE得到==1,即AB=NE,再利用AB=BC,DC=DE可得BD=DN,则△BDN为等腰直角三角形,所以DM⊥BN,∠DBN=∠N=45°,∠BMD=90°,接着由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°,则可得到CE∥BN,AC∥DM,于是可判断四边形MGCH为平行四边形,加上∠GMH=90°,则可判断四边形MGCH为矩形.
证明:(1)延长BM交DE的延长线于N,如图,
∵∠ABC=∠CDE=90°,
∴AB∥DN,
∴=,
而点M为AE中点,
∴AM=ME,
∴BM=MN,
∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线,
∴MB=MD;
(2)∵AB∥NE,
∴==1,即AB=NE,
∵AB=BC,DC=DE,
∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN,
∴△BDN为等腰直角三角形,
∴DM⊥BN,∠DBN=∠N=45°,∠BMD=90°,
∵AB=BC,DC=DE,
∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形,
∴∠CED=∠ACB=∠45°,
∴∠CED=∠N,∠ACB=∠BDM,
∴CE∥BN,AC∥DM,
∴四边形MGCH为平行四边形,
而∠GMH=90°,
∴四边形MGCH为矩形.
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【题目】已知关于的一元二次方程与,下列判断不正确的是( )
A.若方程有两个实数根,则方程也有两个实数根;
B.如果是方程的一个根,那么是的一个根;
C.如果方程与有一个根相等,那么这个根是1;
D.如果方程与有一个根相等,那么这个根是1或-1.
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【题目】在一堂数学实践课上,赵老师给出了下列问题:
提出问题
(1)如图1,在△ABC中,E是BC的中点,P是AE的中点,就称CP是△ABC的“双中线”,∠ACB=900,AC=3,AB=5.则CP=___;
探究规律
(2)在图2中,E是正方形ABCD一边上的中点,P是BE上的中点,则称AP是正方形ABCD的“双中线”,若AB=4.则AP的长为_____;
(3)在图3中,AP是矩形ABCD的“双中线”, 若AB=4,BC=6,请仿照(2)中的方法求出AP的长,并说明理由;
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【题目】如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.
(1)求新传送带AC的长度.
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.
参考数据:.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.为了了解全国中学生每天体育锻炼的时间,应采用普查的方式
B.若甲组数据的方差s=0.03,乙组数据的方差是s=0.2,则乙组数据比甲组数据稳定
C.广安市明天一定会下雨
D.一组数据4、5、6、5、2、8的众数是5
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【题目】如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B重合于点D,折痕分别交边AB、BC于点F、E,若AD=2,BC=8.则(1)BE的长为_________. (2)∠CDE的正切值为________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(0,a),B(b,a),且a,b满足(a﹣3)2+|b﹣6|=0,现同时将点A,B分别向下平移3个单位,再向左平移2个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,AB.
(1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD;
(2)在y轴上是否存在一点M,连接MC,MD,使S△MCD=S四边形ABCD?若存在这样一点,求出点M的坐标,若不存在,试说明理由;
(3)点P是直线BD上的一个动点,连接PA,PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重合),直接写出∠BAP,∠DOP,∠APO之间满足的数量关系.
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