Question

【题目】已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围；
（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，求出矩形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，

∴0=0+0+m2﹣1，即m2﹣1=0

解得m=±1．

又∵当x＜0时，y随x的增大而减小，

∴m=﹣1，

∴二次函数解析式为y=x2﹣3x

（2）﹣ ≤y＜4
（3）

解：如图2中，

∵BC=1，B、C关于对称轴对称，

∴B（，1，0），C（（2，0），

∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，

∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），

∴AB=DC=2，BC=AD=1，

∴四边形ABCD的周长为6，

当BC=1时，矩形的周长为6

【解析】解：（2）如图1中，

x=0时，y=0，
∵y=（x﹣ ）2﹣ ，
∴x= 时，y最小值为﹣ ，
x=4时，y=4，
∴0＜x＜4时，﹣ ≤y＜4．
所以答案是﹣ ≤y＜4．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点即可以解答此题．