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【题目】(2016云南省第23题)有一列按一定顺序和规律排列的数:

第一个数是

第二个数是

第三个数是

对任何正整数n,第n个数与第(n+1)个数的和等于

(1)经过探究,我们发现:

设这列数的第5个数为a,那么,哪个正确?

请你直接写出正确的结论;

(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数,猜想这列数的第n个数(即用正整数n表示第n数),并且证明你的猜想满足“第n个数与第(n+1)个数的和等于”;

(3)设M表示,…,,这2016个数的和,即

求证:

【答案】(1)、第5个;(2)、;证明过程见解析;(3)、证明过程见解析.

【解析】

试题分析:(1)、由已知规律可得;(2)、先根据已知规律写出第n、n+1个数,再根据分式的运算化简可得;

(3)、将每个分式根据==,展开后再全部相加可得结论.

试题解析:(1)由题意知第5个数a==

(2)n个数为,第(n+1)个数为

+=+)=×=×=

即第n个数与第(n+1)个数的和等于

(3)1==1,

==1

==

==

==

1+++++<2

+++++

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B.m<n
C.m=n
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1+2= =3

1+2+3= =6

1+2+3+4= =10

1+2+3+4+5= =15

1)猜想:1+2+3+4+…+n=

2)利用上述规律计算:1+2+3+4+…+100

3)计算:

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第1个等式:a1==×(1﹣);

第2个等式:a2==×();

第3个等式:a3==×();

第4个等式:a4==×();

请解答下列问题:

(1)按以上规律列出第5个等式:a5= =

(2)用含有n的代数式表示第n个等式:an= = (n为正整数);

(3)求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.

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