Question

【题目】如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE与E点．

（1）求证：BD=DE+CE
（2）若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时（BD＜CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？请予以证明．

（3）若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时（BD＞CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？直接写出结果，不需证明．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，

∴∠ADB=∠AEC=90°．

∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，

∵∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°，

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD 和△CAE中，

∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∵AE=AD+DE，

∴BD=DE+CE

（2）

解：BD=DE﹣CE

证明如下：

∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，

∴∠DAB+∠DBA=90°

∵∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△DBA和△EAC中，

∠D=∠E=90°，∠DBA=∠CAE，AB=AC

△DBA≌△EAC（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

BD=AE=DE﹣AD=DE﹣CE

（3）

解：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，

∴∠DAB+∠DBA=90°

∵∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△DBA和△EAC中，

∠D=∠E=90°，∠DBA=∠CAE，AB=AC

△DBA≌△EAC（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

又∵ED=AD+AE，

∴DE=BD+CE．

【解析】（1）根据已知条件易证得∠BAD=∠ACE，且根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．（2）BD=DE+CE．根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．（3）同上理，BD=DE+CE仍成立．