Question

19．如图所示，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x=1，且经过点（0，2）．有下列结论：①ac＞0；②b²-4ac＞0；③a+c＜2-b；④a＜-$\frac{1}{4}$；⑤x=-5和x=7时函数值相等．其中错误的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，所以ac＜0；由于抛物线与x轴有2个交点，所以b²-4ac＞0；根据抛物线的对称轴为直线x=1，则x=1时，y最大，所以a+b+c＞2，即a+c＞2-b；由于x=-2时，y＜0，所以4a-2b+c＜0，由于-$\frac{b}{2a}$=1，c=2，则4a+4a+2＜0，所以a＜-$\frac{1}{4}$；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称性得到x=-5和x=7时函数值相等．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y最大，即a+b+c＞2，
∴a+c＞2-b，所以③错误；
∵x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，
而-$\frac{b}{2a}$=1，c=2，
∴4a+4a+2＜0，
∴a＜-$\frac{1}{4}$，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=-5和x=7时函数值相等，所以⑤正确．
所以①③两个，
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．