Question

如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD，AC=2，BD=3，则AB的长是

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA则可证得CD是⊙O的切线；过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在RT△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出AB的长度．

解答：解：过O点作OE⊥CD，垂足为E，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，
∴OA=OE，
∴CD是⊙O的切线．
过C点作CF⊥BD，垂足为F，
∵AC，CD，BD都是⊙O的切线，
∴AC=CE=2，BD=DE=3，
∴CD=CE+DE=5，
∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，
∴四边形ABFC是矩形，
∴BF=AC=2，DF=BD-BF=1，
在Rt△CDF中，CF²=CD²-DF²=5²-1²=24，
∴AB=CF=2

6

．

点评：此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质，难度一般．