Question

【题目】“净扬”水净化有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的小型水净化产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种小型水净化产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量(万件)与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种水净化产品的年利润为z（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）

（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；

（2）求出第一年这种水净化产品的年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；

（3）假设公司的这种水净化产品第一年恰好按年利润z（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种水净化产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润z（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当4≤x≤8时，；当8＜x≤28时，；当每件的销售价格定 为16元时，第一年的年利润最大为-16万元；（3）当11≤x≤21时，第二年的年利润z不低于103万元．

【解析】

（1）将点A的坐标代入反比例函数求解即可求出反比例函数的解析式，再将点B和点C的坐标代入一次函数求解即可得出一次函数的解析式；

（2）根据公式“总利润=单件利润×数量”即可得出解析式，再根据二次函数的性质即可得出答案；

（3）先求出第二年的年利润公式再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像性质即可得出答案．

解：（1）当4≤x≤8，设y=，将A（4，40）代入

得k=4×40=160，

所以y与x之间的函数关系式为：y=，

当8＜x≤28时，设y=kx+b，

将B（8，20）、C（28，0）代入得

，

解得 ，

∴y与x之间的函数关系为y=-x+28，

∴综上所述得： ；

（2）当4≤x≤8时，，

∵z随着x的增大而增大，

∴当x=8时，z最大值为-80，

当8＜x≤28时，

∴当x=16时，z最大值为-16，

∵-80＜-16，

∴当每件的销售价格定 为16元时，第一年的年利润最大为-16万元；

（3）∵第一年的年利润为-16万元，

∴-16万元应作为第二年的成本，

∴第二年的年利润z=（x-4）（-x+28）-16=，

令z=103，则=103，

解得，

在平面直角坐标系中，画出z与x的函数示意图如图，

观察可知：z≥103时，11≤x≤21，

∴当11≤x≤21时，第二年的年利润z不低于103万元．