Question

如图1，动直线l：y=kx+2交抛物线y=x²于A、B两点（A在B的左边），交y轴于M点，N为x轴正半轴上一点，且ON=OM+1

（1）直接写出M、N两点的坐标

（2）如图1，连AN、BN，当∠ANB=90°时，求k的值；如图2，过B作y轴的平行线交直线OA于C，试探求△MNC的周长的最小值．

　

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）首先求得直线与y轴的交点M的坐标，然后根据ON=OM+1求得点N的坐标；

（2）设A（x₁， x₁²），B（x₂， x₂²），A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，利用△ADN∽△NEB列出比例式求得有关两点坐标的方程，利用根与系数的关系列式求解即可；求得直线AO的解析式，然后确定点C的位置，然后利用轴对称的性质确定三角形的面积的最小值即可．

【解答】解：（1）M（0，2），N（3，0）；

（2）设A（x₁， x₁²），B（x₂， x₂²），

过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，

则△ADN∽△NEB，

∴，

∴=，

∴（x₁x₂）²=﹣（3﹣x₁）（3﹣x₂），（x₁x₂）²=﹣[9﹣3（x₁+x₂）+x₁x₂]，

又∵由l：y=kx+2，抛物线y=x²，得： x²﹣kx﹣2=0，

∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=﹣8，

∴（﹣8）²=﹣[9﹣3×4k﹣8]，

∴k=；

设直线AO的解析式为y=mx，

∵过A（x₁， x₁²），

∴x₁²=mx₁，

∴m=x₁，

∴直线AO的解析式为y=x₁x，

∵BC∥y轴，直线BC的解析式为x=x₂，

∴C（x₂， x₁x₂），

又∵由（1）知x₁x₂=﹣8，

∴C（x₂，﹣2），

又∵x₂＞0，

∴C点一定在没有端点的射线y=﹣2（x＞0）上运动，

∴由轴对称可知：△MNC的周长的最小值为3+．

【点评】本题考查了二次函数的综合知识，题目中往往设出有关点的坐标，根据题意得到方程，从而求得点的坐标的方法在解决此类题目中应用十分的广泛，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．