Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．

（1）求证：BE=CG；

（2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE+CF＞EF；理由见解析；

【解析】

（1）利用ASA证明△BED≌△CGD，根据全等三角形的性质即可证得结论；（2）BE+CF＞EF．连接FG，根据全等三角形的性质可得GD=ED，BE=CG．又因DF⊥EG，根据线段垂直平分线的性质可得EF=FG．在△FCG中，由三角形的三边关系可得CF+CG＞FG，即可证得结论．

证明：（1）∵AB∥GC，

∴∠EBD=∠GCD．

∵D为BC的中点，

∴BD=CD

在△BED与△CGD中，

∴△BED≌△CGD（ASA）．

∴BE=CG．

（2）BE+CF＞EF．

连接FG，

∵△BED≌△CGD，

∴GD=ED，BE=CG．

又∵DF⊥EG，

∴EF=FG．

∴在△FCG中，CF+CG＞FG，

即BE+CF＞EF．