Question

【题目】已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．

（1）求这个函数关系式；

（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；

（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+1或y=x2+x+1；（2）P点的坐标为：（﹣10，16）；（3）点M不在抛物线y=ax2+x+1上

【解析】分析：（1）此题应分两种情况：①a=0，此函数是一次函数，与x轴只有一个交点；

②a≠0，此函数是二次函数，可由根的判别式求出a的值，以此确定其解析式；

（2）设圆与x轴的另一个交点为C，连接PC，由圆周角定理知PC⊥BC；由于PB是圆的直径，且AB切圆于B，得PB⊥AB，由此可证得△PBC∽△BAO，根据两个相似三角形的对应直角边成比例，即可得到PC、BC的比例关系，可根据这个比例关系来设P点的坐标，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标；

（3）连接CM，设CM与PB的交点为Q，由于C、M关于直线PB对称，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；过M作MD⊥x轴于D，取CD的中点E，连接QE，则QE是Rt△CMD的中位线；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易证得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它们的正切值都等于（在（2）题已经求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已经求出了CB的长，根据CE、BE的比例关系，即可求出BE、CE、QE的长，由此可得到Q点坐标，也就得到M点的坐标，然后将点M代入抛物线的解析式中进行判断即可．

详解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点

当a≠0时，△=1﹣4a=0，a=，此时，图象与x轴只有一个公共点．

∴函数的解析式为：y=x+1或y=x2+x+1；

（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C；

∵y=ax2+x+1是二次函数，由（1）知该函数关系式为：

y=x2+x+1，

∴顶点为B（﹣2，0），图象与y轴的交点

坐标为A（0，1）

∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B

∴PB⊥AB则∠PBC=∠BAO

∴Rt△PCB∽Rt△BOA

∴，故PC=2BC，

设P点的坐标为（x，y），

∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，

∴∠PBO是钝角，

∴x＜﹣2

∴BC=﹣2﹣x，PC=﹣4﹣2x，

即y=﹣4﹣2x，P点的坐标为（x，﹣4﹣2x）

∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，

∴﹣4﹣2x=x2+x+1

解之得：x1=﹣2，x2=﹣10

∵x＜﹣2，

∴x=﹣10，

∴P点的坐标为：（﹣10，16）

（3）点M不在抛物线y=ax2+x+1上

由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ，即QE是中位线．

∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE

∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴

∴∠QCE=∠EQB=∠CPB

∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=

CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，

故BE=，QE=

∴Q点的坐标为（﹣，）

可求得M点的坐标为（，）

∵

∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1上．