【题目】(1)如图(a)所示点D是等边边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明.
(2)如图(b)所示当动点D运动至等边边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?(直接写出结论)
(3)①如图(c)所示,当动点D在等边边BA上运动时(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边和等边,连接AF、,探究AF、与AB有何数量关系?并证明.
②如图(d)所示,当动点D在等边边BA的延长线上运动时,其他作法与(3)①相同,①中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明.
【答案】(1)AF=BD,理由见解析;(2)AF=BD,成立;(3)①,证明见解析;②①中的结论不成立新的结论是,理由见解析
【解析】
(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可证得,然后由全等三角形的对应边相等知 .
(2)通过证明,即可证明.
(3)① ,利用全等三角形的对应边 ,同理 ,则 ,所以;
②①中的结论不成立,新的结论是 ,通过证明,则(全等三角形的对应边相等),再结合(2)中的结论即可证得 .
(1)
证明如下:是等边三角形,
,.
同理可得:,.
.
即.
.
.
(2)证明过程同(1),证得,则(全等三角形的对应边相等),所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,依然成立.
(3)①
证明:由(1)知,.
.
同理.
.
.
②①中的结论不成立新的结论是;
,,,
.
.
又由(2)知,.
.
即.
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【题目】在中,,,点是上一点.
(1)如图,平分.求证:;
(2)如图,点在线段上,且,,求证:.
(3)如图,,过点作交的延长线于点,连接,过点作交于,求证:.
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【题目】如图,已知直线lAC:y=﹣交x轴、y轴分别为A、C两点,直线BC⊥AC交x轴于点B.
(1)求点B的坐标及直线BC的解析式;
(2)将△OBC关于BC边翻折,得到△O′BC,过点O′作直线O′E垂直x轴于点E,F是y轴上一点,P是直线O′E上任意一点,P、Q两点关于x轴对称,当|PA﹣PC|最大时,请求出QF+FC的最小值;
(3)若M是直线O′E上一点,且QM=3,在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】“校园安全”受到全社会的广泛关注,某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图,请根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有 人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数.
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【题目】如图,在ABCD中,AB=4,AD=5,tanA=,点P从点A出发,沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向中点C运动,过点P作PQ⊥AB,交折线AD﹣DC于点Q,将线段PQ绕点P顺时针旋转90°,得到线段PR,连接QR.设△PQR与ABCD重叠部分图形的面积为S(平方单位),点P运动的时间为t(秒).
(1)当点R与点B重合时,求t的值;
(2)当点P在BC边上运动时,求线段PQ的长(用含有t的代数式表示);
(3)当点R落在ABCD的外部时,求S与t的函数关系式;
(4)直接写出点P运动过程中,△PCD是等腰三角形时所有的t值.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:△DAE≌△CFE;
(2)若AB=BC+AD,求证:BE⊥AF.
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【题目】如图,在等边△ABC中,DE分别是边AB、AC上的点,且AD=CE,则∠ADC+∠BEA=( )
A.180°B.170°C.160°D.150°
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【题目】如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,M为劣弧AB上一点(不与A、B重合)过点M的切线分别与PA、PB相交于点C、D,Q为优弧AB上一点(不与A、B重合).
(1)若PA=10,求△PCD的周长;
(2)若∠P=40°,求∠AQB的度数.
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