Question

【题目】材料一：一个大于1的正整数，若被除余1，被除余1，被除余1……，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明礼”数（取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．

材料二：设，……，3，2的最小公倍数为，那么“明礼”数可以表示为（为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为（为正整数）

（1）求出最小的三位“明三礼”数；

（2）一个“明四礼”数与“明五礼”数的和为170，求出这两个数．

Answer 1

【答案】（1）17

（2）49；121

【解析】

（1）可知3和2的最小公倍数是6，设此“明三礼”数为，其中是正整数，当它是最小的三位数时，则满足，可得从而求出最小的三位“明三礼”数.

（2）4、3、2的最小公倍数是12，5、4、3、2的最小公倍数是60，设“明四礼”数是，“明五礼”数是，根据已知条件“明四礼”数与“明五礼”数的和为170，列出等式，根据和是正整数讨论即可.

（1）3和2的最小公倍数是6，设此“明三礼”数为，则，可得

∴满足上述条件的最小正整数是17

（2）4、3、2的最小公倍数是12

5、4、3、2的最小公倍数是60

设“明四礼”数是，“明五礼”数是

∵“明四礼”数与“明五礼”数的和为170

∴+=170

又∵和是正整数

∴=4，=2

∴这个“明四礼”数是49，“明五礼”数是121