Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，点E在AB上，点F在CD上，以EF为折痕，将此矩形折叠，使点A和点C重合，点D和点G重合．

(1)求证：四边形AECF是菱形．

(2)若AB＝5，AD＝3，则菱形AECF的面积等于_____．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)S菱形AECF＝10.2.

【解析】

（1）依据翻折的性质和平行线的性质可证明∠AFE=∠AEF，依据等腰三角形的判定定理可得到AF=AE，从而可证明FC=AE，然后再证明四边形AECF为平行四边形，最后，结合条件AE=FC可证明平行四边形AECF为菱形；
（2）设菱形的边长为x，则DF=5-x，然后在Rt△ADF中，依据勾股定理可求得AF的长，最后，依据菱形的面积公式求解即可．

(1)由翻折的性质可知：AF＝FC，∠AFE＝∠EFC．

又∵FC∥AE，

∴∠EFC＝∠AEF．

∴∠AFE＝∠AEF．

∴AF＝AE．

∴FC＝AE．

又∵FC∥AE，

∴四边形AECF为平行四边形．

又∵AF＝FC，

∴平行四边形AECF为菱形．

(2)解：设AF＝x，则AE＝x，DF＝5﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°，

∴AD2+DF2＝AF2，

∴(5﹣x)2+32＝x2，x＝3.4，

∴S菱形AECF＝ADAE＝3×3.4＝10.2．