Question

【题目】二次函数图象的顶点在原点O，且经过点A(1，)；点F(0，1)在y轴上．直线y=－1与y轴交于点H．

(1)求二次函数的解析式；

(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝－1交于点M，求证：点M到∠OFP两边距离相等.

Answer 1

【答案】(1)y＝x2；(2)见解析.

【解析】

（1）由于二次函数图象的顶点在原点O，可设二次函数的解析式为y=ax2．将点A（1，）代入，求出a的值，得到二次函数的解析式；

（2）设点P的坐标为（x，x2），过点P作PB⊥y轴于点B，在Rt△BPF中利用勾股定理求出PF==．根据PF=PM，得出∠PFM=∠PMF，又根据平行线的性质得出∠MFH=∠PMF，等量代换得出∠PFM=∠MFH，那么FM平分∠OFP，点M到∠OFP两边距离相等.

（1）解：设二次函数的解析式为y=ax2．

将点A（1，）代入，得a=，

所以二次函数的解析式为y=x2；

（2）证明：设点P的坐标为（x，x2），

过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=| x2-1|，PB=x，

∴Rt△BPF中，PF==.

∵PM⊥直线y=-1，

∴PM=x2+1，

∴PF=PM，

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥y轴，

∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP，

∴点M到∠OFP两边距离相等.