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【题目】问题背景:如图1P是等边ABC内一点,PA6PB8PC10,求∠APB的度数.小君研究这个问题的思路是:将ACP绕点A逆时针旋转60°得到ABP',易证:APP'是等边三角形,PBP'是直角三角形,所以∠APB=∠APP'+BPP'150°

简单应用:(1)如图2,在等腰直角ABC中,∠ACB90°PABC内一点,且PA5PB3PC2,则∠BPC   °

2)如图3,在等边ABC中,PABC内一点,且PA5PB12,∠APB150°,则PC   

拓展廷伸:(3)如图4,∠ABC=∠ADC90°ABBC.求证:BDAD+DC

4)若图4中的等腰直角ABCRtADC在同侧如图5,若AD2DC4,请直接写出BD的长.

【答案】1135;(213;(3)见解析;(4

【解析】

简单应用:(1)先利用旋转得出BP'AP5,∠PCP'90°CP'CP2,再根据勾股定理得出PP'CP4,最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形,即可得出结论;

2)同(1)的方法得出∠APP'60°,进而得出∠BPP'=∠APB﹣∠APP'90°,最后用勾股定理即可得出结论;

拓展廷伸:(3)先利用旋转得出BD'BDCD'AD,∠BCD'=∠BAD,再判断出点D'DC的延长线上,最后用勾股定理即可得出结论;

(4)先利用旋转得出BD'BDCDAD',∠DBD'90°,∠BCD=∠BAD',再判断出点D'AD的延长线上,最后用勾股定理即可得出结论.

解:简单应用:(1)如图2

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠ACB90°ACBC,将

ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP',连接PP'

BP'AP5,∠PCP'90°CP'CP2

∴∠CPP'=∠CP'P45°

根据勾股定理得,PP'CP4

BP'5BP3,∴PP'2+BP2BP'

∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形,

∴∠BPP'90°

∴∠BPC=∠BPP'+CPP'135°

故答案为:135

2)如图3

∵△ABC是等边三角形,

∴∠BAC60°ACAB

将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP',连接PP'

BP'CPAP'AP5,∠PAP'60°

∴△APP'是等边三角形,

PP'AP5,∠APP'60°

∵∠APB150°

∴∠BPP'=∠APB﹣∠APP'90°

根据勾股定理得,BP'13

CP13

故答案为:13

拓展廷伸:(3)如图4

在△ABC中,∠ABC90°ABBC

将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'

BD'BDCD'AD,∠BCD'=∠BAD

∵∠ABC=∠ADC90°

∴∠BAD+BCD180°

∴∠BCD+BCD'180°

∴点D'DC的延长线上,

DD'CD+CD'CD+AD

RtDBD'中,DD'BD

BDCD+AD

4)如图5

在△ABC中,∠ABC90°ABBC

连接BD,将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'

BD'BDCDAD',∠DBD'90°,∠BCD=∠BAD'

ABCD的交点记作G

∵∠ADC=∠ABC90°

∴∠DAB+AGD=∠BCD+BGC180°

∵∠AGD=∠BGC

∴∠BAD=∠BCD

∴∠BAD=∠BAD'

∴点D'AD的延长线上,

DD'AD'ADCDAD2

RtBDD'中,BDDD'

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满足的条件

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_______

方程有两个不相等的正实根

____________

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