Question

1．如图，抛物线y=x²+bx+c交x轴于A（-3，0），B（-1，0）两点，交y轴于点C．已知一次函数y=kx+b的图象过点A，C． 
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b＞x²+bx+c的x的取值范围；
（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出y，可得C点坐标；将抛物线解析式改写成交点式，可得A、B两点的坐标；
（2）将抛物线解析式配成顶点式；
（3）设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将三角形ABF的面积用F点的横坐标表示出来，等于1，建立方程，解之即可；
（4）分三种情况，画出图形，分别算出即可．

解答 解：（1）将A（-3，0），B（-1，0）代入y=x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3；
（2）不等式kx+b＞x²+bx+c等价于一次函数的图象高于二次函数的图象，
由图象可知在A与O之间这个范围内，一次函数的图象高于二次函数的图象，
∴-3＜x＜0；
（3）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=2，
如图：

若P₁ABC为平行四边形，则P₁C∥AB，且P₁C=AB，
则P₁（-2，3）；
若CABP₂为平行四边形，则P₂C∥AB，且P₂C=AB，
则P₂（2，3）；
若CAP₃B为平行四边形，则BC∥P3A，且BC=P₃A，
则P3（-4，-3）；
综上所述：满足要求的P点坐标为：（-2，3），（2，3），（-4，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图象法解不等式、平行四边形的性质等知识点，难度适中．第（1）问体现图形结合的思想和方法，这一方法将在今后的数学学习中大量运用，要引起重视；第（3）问是常规考法，注意分类讨论，考虑周全，不要漏解．