Question

【题目】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

（1）如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则；

（2）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．

①求证：；

②如图3，若，探索线段、、之间的等量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】（2）①见解析；②

【解析】

（2）①可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解；

②由（1）中的全等得到∠C=∠CBG．∵∠ABC+∠C=90°，∴∠EBG=90°，可得三边之间存在勾股定理关系．

解：（2）①把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD，

∴CF=BG，DF=DG，

∵DE⊥DF，

∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

②若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，

由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，

∴．

、、之间的等量关系为