Question

情景观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示，将将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是　　　　　　，∠CAC′=　　　　　　°；

问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若AB=kAE、AC=kAF，探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：观察图2即可发现△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，

∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°；

故答案为：AD，90；

问题探究：FQ=EP，

理由如下：

∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，

∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，

又∵AF=AC，

在△AFQ与△CAG中，

，

∴△AFQ≌△CAG（AAS），

∴FQ=AG，

同理EP=AG，

∴FQ=EP；

拓展延伸：HE=HF，

理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q，

∵四边形ABME是矩形，

∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°，

又AG⊥BC，

∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP．

∵∠AGB=∠EPA=90°，

∴△ABG∽△EAP，

∴AG：EP=AB：EA，

同理△ACG∽△FAQ，

∴AG：FQ=AC：FA，

∵AB=k•AE，AC=k•AF，

∴AB：EA=AC：FA=k，

∴AG：EP=AG：FQ，

∴EP=FQ，

又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，

在Rt△EPH与Rt△FQH中，

，

∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS），

∴HE=HF．