Question

【题目】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF．BD=CF．

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，第（1）问结论还成立吗？并说明理由．

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：

①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BD⊥CF；

（2）

（1）的结论仍然成立，理由：

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，

∠CAF=∠DAF+∠CAD=90°+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAD，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°

∴BD⊥CF．

（3）

①BC、CD与CF的关系：CD=BC+CF

理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，从而可得：

BD=CF，

即：CD=BC+CF

②△AOC是等腰三角形

理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，可得：∠DBA=∠FCA，

又∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

则∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠ABD=∠FCA=135°

∴∠DCF=135°﹣45°=90°

∴△FCD为直角三角形．

又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O，

∴OC= DF，

∴OC=OA

∴△AOC是等腰三角形

【解析】（1）设法证明△BAD≌△CAF与∠FCD=90°即可；（2）与（1）同法；（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能正确解答此题．