Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点.

（1）求证：① ∠1=∠2；② EC⊥MC.

（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由.

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）当∠1=30°时，△ECG为等腰三角形. 理由见解析.

【解析】试题分析：（1）①根据正方形的对角线平分一组对角可得然后利用边角边定理证明≌再根据全等三角形对应角相等即可证明；
②根据两直线平行，内错角相等可得 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得然后据等边对等角的性质得到，所以 然后根据即可证明 从而得证；
（2）根据（1）的结论，结合等腰三角形两底角相等 然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可求解．

试题解析：(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，

在△ADE与△CDE,

∴△ADE≌△CDE(SAS)，

∴∠1=∠2，

②∵AD∥BG(正方形的对边平行)，

∴∠1=∠G，

∵M是FG的中点，

∴MC=MG=MF，

∴∠G=∠MCG，

又∵∠1=∠2，

∴∠2=∠MCG，

∵

∴

∴EC⊥MC；

（2）当∠1=30°时， 为等腰三角形. 理由如下：

∵要使为等腰三角形，必有

∴

∵

∴

∴

∴∠1=30°.

【题型】解答题
【结束】
24

【题目】如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连结BO、CA，若四边形OACB是平行四边形.

（1）① 直接写出A、C两点的坐标；② 求这条抛物线的函数关系式；

（2）设该抛物线的顶点为M，试在线段AC上找出这样的点P，使得△PBM是以BM为底边的等腰三角形并求出此时点P的坐标；

（3）经过点M的直线把□ OACB的面积分为1:3两部分，求这条直线的函数关系式.

Answer 1

【答案】（1）① A(4,0)，C(6,3) ；②所求的抛物线函数关系式为；（2）点P的坐标为(,1).

（3）所求直线为：x=2或y=x

【解析】试题分析：（1）①根据点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点，得出A点坐标为(4,0)，进而得出AO的长，即可得出BC=AO，求出C点坐标即可；
②根据三点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）首先求出所在解析式，进而得出符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上，求出即可；
（3）由条件可知经过点M且把OACB的面积分为1:3两部分的直线有两条，分别得出即可．

试题解析：(1)①∵点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点，

∴A点坐标为(4,0)，

∵四边形OACB是平行四边形，

∴BC=AO，

∴C点坐标为：(6,3)，

②设所求的抛物线为 则依题意，得

,

解得：

∴所求的抛物线函数关系式为：

(2)设线段AC所在的直线的函数关系式为 根据题意，得

解得：

∴直线AC的函数关系式为：

∵

∴抛物线的顶点坐标M为(2,1)，

∴符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上，

而BM=4,所以P点的纵坐标为1,把y=1代入中,得

∴点P的坐标为

(3)平行四边形的中心对称性可以得到经过点M且把的面积分为1:3两部分的直线有两条,

(ⅰ)∵OACB=OABD=4×3=12,△OBD的面积

∴直线x=2为所求,

(ⅱ)设符合条件的另一直线分别与x轴、BC交于点

则

∴四边形ACFE的面积

即

∵BC∥x轴，

∴△MDE∽△MBF，

∴

∴

即

∴

∴

设直线ME的函数关系式为 则

解得：

∴直线ME的函数关系式为

综合(ⅰ)(ⅱ)得,所求直线为：x=2或