Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交弧AC于点F，交过点C的切线于点D．

（1）求证：DC＝DP；

（2）若∠CAB＝30°，当F是弧AC的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形，理由见解析.

【解析】分析：（1）连接OC,根据切线的性质和PE⊥OE以及∠OAC=∠ACO，得∠APE=∠DPC，然后结合对顶角的性质可证得结论；
（2）由易得△OBC为等边三角形，可得由F是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得四边形OACF为菱形.

详解：(1)证明：连接OC,

∵∠OAC=∠ACO，PE⊥OE，OC⊥CD，

∴∠APE=∠PCD，

∵∠APE=∠DPC，

∴∠DPC=∠PCD，

∴DC=DP；

(2)以A,O,C,F为顶点的四边形是菱形;

∵

∴△OBC为等边三角形，

∴

连接OF，AF，

∵F是的中点，

∴

∴△AOF与△COF均为等边三角形，

∴AF=AO=OC=CF，

∴四边形OACF为菱形.