【题目】如图,在平面直角坐标中,点O为坐标原点,直线y=﹣x+4与x轴交于点A,过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B,且点B的横坐标为1.
(1)求a,b的值;
(2)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,过点P作PF⊥MC于点F,设PF的长为t,MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当S△ACN=S△PMN时,连接ON,点Q在线段BP上,过点Q作QR∥MN交ON于点R,连接MQ、BR,当∠MQR﹣∠BRN=45°时,求点R的坐标.
【答案】(1)a=﹣1,b=4;
(2)d=3t+t=4t;
(3)R(,).
【解析】
试题分析:(1)由已知可得出A,B点坐标,从而根据待定系数法得出a,b的值;
(2)由已知可得出AD=BD,从而∠BAD=∠ABD=45°,进而可得出tan∠BOD=tan∠MPF,故=3,MF=3PF=3t,即可得出d与t的函数关系;
(3)由S△ACN=S△PMN,则可得AC2=2t2,从而得出AC=2t,CN=2t,则M(4﹣2t,6t),求出t的值,进而得出△PMQ∽△NBR,求出R点坐标.
试题解析:(1)∵y=﹣x+4与x轴交于点A,
∴A(4,0),
∵点B的横坐标为1,且直线y=﹣x+4经过点B,
∴B(1,3),
∵抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,3),
∴,
解得:,
∴a=﹣1,b=4;
(2)如图,作BD⊥x轴于点D,延长MP交x轴于点E,
∵B(1,3),A(4,0),
∴OD=1,BD=3,OA=4,
∴AD=3,
∴AD=BD,
∵∠BDA=90°,∠BAD=∠ABD=45°,
∵MC⊥x轴,∴∠ANC=∠BAD=45°,
∴∠PNF=∠ANC=45°,
∵PF⊥MC,∴∠FPN=∠PNF=45°,
∴NF=PF=t,
∵∠DFM=∠ECM=90°,∴PF∥EC,
∴∠MPF=∠MEC,
∵ME∥OB,∴∠MEC=∠BOD,
∴∠MPF=∠BOD,
∴tan∠BOD=tan∠MPF,
∴=3,
∴MF=3PF=3t,
∵MN=MF+FN,
∴d=3t+t=4t;
(3)如备用图,由(2)知,PF=t,MN=4t,
∴S△PMN=MN×PF=×4t×t=2t2,
∵∠CAN=∠ANC,
∴CN=AC,
∴S△ACN=AC2,
∵S△ACN=S△PMN,
∴AC2=2t2,
∴AC=2t,∴CN=2t,
∴MC=MN+CN=6t,
∴OC=OA﹣AC=4﹣2t,
∴M(4﹣2t,6t),
由(1)知抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x,
将M(4﹣2t,6t)代入y=﹣x2+4x得:
﹣(4﹣2t)2+4(4﹣2t)=6t,
解得:t1=0(舍),t2=,
∴PF=NF=,AC=CN=1,OC=3,MF=,PN=,PM=,AN=,
∵AB=3,
∴BN=2,
作NH⊥RQ于点H,
∵QR∥MN,
∴∠MNH=∠RHN=90°,
∠RQN=∠QNM=45°,∴∠MNH=∠NCO,
∴NH∥OC,
∴∠HNR=∠NOC,
∴tan∠HNR=tan∠NOC,
∴,
设RH=n,则HN=3n,
∴RN=n,QN=3n,
∴PQ=QN﹣PN=3n﹣,
∵ON=,
OB=,
∴OB=ON,∴∠OBN=∠BNO,
∵PM∥OB,
∴∠OBN=∠MPB,
∴∠MPB=∠BNO,
∵∠MQR﹣∠BRN=45°,∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°,
∴∠BRN=∠MQP,
∴△PMQ∽△NBR,
∴,
∴,
解得:n=,
∴R的横坐标为:3﹣,R的纵坐标为:1﹣=,
∴R(,).
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上一动点(不与A,C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交弧AC于点F,交过点C的切线于点D.
(1)求证:DC=DP;
(2)若∠CAB=30°,当F是弧AC的中点时,判断以A,O,C,F为顶点的四边形是什么特殊四边形?说明理由.
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【题目】如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.
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【题目】阅读材料,根据材料回答:
例如1:
.
例如2:
8×0.125=8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
=(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)
=(8×0.125)6 =1.
(1)仿照上面材料的计算方法计算:;
(2)由上面的计算可总结出一个规律:(用字母表示) ;
(3)用(2)的规律计算:.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB'C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B'C相交于点O,连接BB'
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母);
(2)求证:△AB'O≌△CDO
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【题目】甲、乙两同学从A地出发,骑自行车在同一条路上行驶到B地,他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系图象如图所示,根据图中提供的信息,有下列说法:
(1)他们都行驶了18千米;
(2)甲在途中停留了0.5小时;
(3)乙比甲晚出发了0.5小时;
(4)相遇后,甲的速度小于乙的速度;
(5)甲、乙两人同时到达目的地
其中符合图象描述的说法有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
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【题目】某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系,如图所示.
(1)求每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式;
(2)已知某“快递小哥”的日收入不少于110元,则他至少要派送多少件?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,4),B(-4,2),C(-2,1),且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称。
(1)画出△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点,△ABC经平移后点P的对应点为P'(a+3,b+1),请画出平移后的△A2B2C2.
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