Question

【题目】已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：_________；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数_________个；

（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；

（4）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）

Answer 1

【答案】

【1】∠A+∠D=∠C+∠B

【2】6 个

【3】解：∠DAP+∠D=∠P+∠DCP ①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P ②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP= ∠PCB

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B =∠P+∠DCP+∠PAB+∠P

又∵∠D=50度，∠B=40度

∴50°+40°=2∠P

∴∠P=45°

【4】关系：2∠ P=∠D+∠B

【解析】【1】根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

【1】根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；

【1】先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数．