Question

如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，连接AO．
（1）在OA上找一点F，使四边形ODFE为平行四边形；
（2）求

OE

OB

的值．

Answer 1

考点：三角形的重心,平行四边形的判定

专题：

分析：（1）连结DE，交OA于P，在OA上取点F，使OF=2OP，连结FD、FE，可证四边形ODFE为平行四边形；
（2）由点O为△ABC的重心，根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可得

OE

OB

=

1

2

．

解答：解：（1）如图，连结DE，交OA于P，在OA上取点F，使OF=2OP，连结FD、FE，得到四边形ODFE．延长AO交BC于Q．
∵△ABC的两条中线BE、CD交于点O，延长AO交BC于Q，
∴点O为△ABC的重心，点Q为BC边的中点．
∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴

DP

BQ

=

AD

AB

=

1

2

，

PE

QC

=

AE

AC

=

1

2

，
∴DP=

1

2

BQ，PE=

1

2

QC，
∵BQ=QC，
∴DP=PE，
∵OF=2OP，
∴OP=PF，
∴四边形ODFE为平行四边形；

（2）∵点O为△ABC的重心，
∴

OE

OB

=

1

2

．

点评：本题考查了三角形中位线定理，重心的定义与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定，难度中等．