Question

如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．

（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；

（3）分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），

将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，

解得：．

故函数解析式为：y=x²+2x．

 

（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，

由四边形AODE可知D在对称轴直线x=﹣1右侧，

则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D（1，3）．

综上可得点D的坐标为：（1，3）．

 

（3）存在．

如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），

根据勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20，

∵BO²+CO²=BC²，

∴△BOC是直角三角形，

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，

设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，

①若△AMP∽△BOC，则=，

即x+2=3（x²+2x），

得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）．

当x=时，y=，即P（，），

②若△PMA∽△BOC，则=，

即：x²+2x=3（x+2），

得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）

当x=3时，y=15，即P（3，15）．

故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．

【点评】本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大．