Question

如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）如图1，请你写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系（不必证明）；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点O，连接AP，BO．猜想并写出BO与AP所满足的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）将△EFP沿直线l继续向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点O，连接AP，BO．此时，BO与AP还具有（2）中的数量关系和位置关系吗？请说明理由．

Answer 1

_{.解：（1）AB=AP；AB⊥AP．             
（2）BO=AP；BO⊥AP．}                   

_{证明：①由已知得：EF=FP，EF⊥FP，
      ∴∠EPF=45°．}

_{又∵AC⊥BC，∴∠COP=∠CPO=45°．∴CO=CP．}

_{在Rt△BCO和Rt△ACP中，BC=AC，∠BCO=∠ACP=90°，CO=CP，
∴Rt△BCO≌Rt△ACP．∴BO=AP．}                    

_{②如图，延长BO交AP于点M．
∵Rt△BCO≌Rt△ACP，∴∠OBC=∠PAC．
在Rt△BCO中，∠OBC+∠BOC=90°，又∠BOC=∠AOM，
∴∠PAC+∠AOM=∠OBC+∠BOC=90°．∴∠OMA=90°．∴BO⊥AP．}    

_成立．   

   _{证明：①如图，∵∠EPF=45°，∴∠CPO=45°．
又∵AC⊥BC，∴∠COP=∠CPO=45°．∴CO=CP．
在Rt△BCO和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCO=∠ACP=90°，CO=CP，
∴Rt△BCO≌Rt△ACP．∴BO=AP．}                      

E    A