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【题目】如图1,等腰中,中点,连接

1)求证:是等边三角形

2)如图2,在内有一点,连接,若,求的度数

3)如图3,在(2)的条件下,在外有一点,连接、若,求线段的长.

【答案】1)证明见解析,(2)150°;(36.

【解析】

(1)构造△CDE≌△BDA,可得∠E=∠CAD=∠BAD AC=EC,故AB=EC=AC=BC,即可解答.

2)以AD为边作等边△ADE,连接EC,易证△ABDACEEC=BD,由已知可得Rt△EDC,从而∠ADC=60°+90°=150°

3)作2倍角的平分线构造全等三角形,RtAGC≌Rt△AHC≌Rt△AHF;由∠ADC=150°可得∠CDG=30°,可知CG=CH=HF=CD,从而得到△CEF为等腰三角形,由△CFE∽△ACF可得,即可计算AF长,由AF=AC=AB即可解答.

1)证明:延长ADE,使DE=AD

在△CDE和△ABD

∴△CDE≌△BDASAS

∠E=∠BADAB=CE

AB=BC

BAC=∠C

∠BAC=∠BAD+CAD

∠E=∠CAD

AC=CE

AC=AB=BC,即是等边三角形

2)以AD为边作等边△ADE,连接EC

∠BAC=∠DAE=60°

∴∠BAD=∠CAE

△ABD△AEC中,

△ABD△ACESAS

∴EC=BD

在等边三角形ADE中,AD=DE∠ADE=60°

∠EDC=90°

∠ADC=∠ADE+EDC=60°+90°=150°

3)作∠CAE平分线AH,过C点作CGADAD延长线于G点,作CHAHAHH点,交AE延长线与F点,

由(2)得,∠ADC=150°

∴∠CDG=30°

CG=CD

∠CAE=2∠CAD

∴∠CAG=∠CAH

∵CGAD, CHAH,易证△AGC≌△AHC≌△AHF

GC=HC=HF,∠ACF=∠FAB=AF

∵CD=CECF=2CG=CD

∴CE=CF

∴∠CEF=∠EFC

∵∠F=∠F

∴△CFE∽△ACF

AE=4CE=CF=2AF=4+EF

EF=2

AB=AC=AF=4+2=6

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( )
A.
B.
C.
D.

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