【题目】如图1,等腰中,,为中点,连接,
(1)求证:是等边三角形
(2)如图2,在内有一点,连接、、,若,求的度数
(3)如图3,在(2)的条件下,在外有一点,连接、、若,,,求线段的长.
【答案】(1)证明见解析,(2)150°;(3)6.
【解析】
(1)构造△CDE≌△BDA,可得∠E=∠CAD=∠BAD, AC=EC,故AB=EC=AC=BC,即可解答.
(2)以AD为边作等边△ADE,连接EC,易证△ABD≌ACE,EC=BD,由已知可得Rt△EDC,从而∠ADC=60°+90°=150°;
(3)作2倍角的平分线构造全等三角形,Rt△AGC≌Rt△AHC≌Rt△AHF;由∠ADC=150°可得∠CDG=30°,可知CG=CH=HF=CD,从而得到△CEF为等腰三角形,由△CFE∽△ACF可得,即可计算AF长,由AF=AC=AB即可解答.
(1)证明:延长AD到E,使DE=AD,
在△CDE和△ABD中
∴△CDE≌△BDA(SAS)
∴∠E=∠BAD,AB=CE,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C,
又∵,∠BAC=∠BAD+CAD,
∴∠E=∠CAD,
∴AC=CE,
∴AC=AB=BC,即是等边三角形
(2)以AD为边作等边△ADE,连接EC,
∵∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△AEC中,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴EC=BD,
在等边三角形ADE中,AD=DE,∠ADE=60°,
∵,
∴,
∴∠EDC=90°,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+90°=150°
(3)作∠CAE平分线AH,过C点作CG⊥AD交AD延长线于G点,作CH⊥AH交AH于H点,交AE延长线与F点,
由(2)得,∠ADC=150°,
∴∠CDG=30°,
∴CG=CD,
∵∠CAE=2∠CAD,
∴∠CAG=∠CAH,
又∵CG⊥AD, CH⊥AH,易证△AGC≌△AHC≌△AHF;
∴GC=HC=HF,∠ACF=∠F,AB=AF,
∵CD=CE,CF=2CG=CD,
∴CE=CF,
∴∠CEF=∠EFC,
又∵∠F=∠F,
∴△CFE∽△ACF
∴,
∵AE=4,CE=CF=2,AF=4+EF
∴EF=2,
∴AB=AC=AF=4+2=6
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【题目】已知关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣(m+3)x+2=0.
(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
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【题目】如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走9m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度.(结果保留根号)
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【题目】如图,以 为圆心的⊙P经过(-2, 0)以1个单位/秒的速度沿 轴向右运动,则当 与 轴相交的弦长为4时,则移动的时间为( )
A.2秒
B.3秒
C.2秒或4秒
D.3秒或6秒[来
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【题目】如图,射线OA的方向是北偏东15°,射线OB的方向是北偏西40°,∠AOB=∠AOC,射线OD是OB的反向延长线.
(1)射线OC的方向是 ;
(2)若射线OE平分∠COD,求∠AOE的度数.
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【题目】如图,在扇形铁皮AOB中,OA=20,AOB=36°,OB在直线 上.将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动),当OA第一次落在l上时,停止旋转.则点O所经过的路线长为
( )
A.
B.
C.
D.
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