Question

【题目】定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：y＝+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝的图象，则y＝+1是y与x的“反比例平移函数”．

（1）若（x+3）（y+2）＝8，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”？

（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3），点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y＝的图象经过B、E两点，则这个“反比例平移函数”的表达式为　 　；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式　 　．

（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2，是“反比例平移函数”；（2）y＝2+，y＝；（3）点P的坐标为：（7，5）或（15，）．

【解析】

（1）将已知式变形用x表示y，再由“反比例平移函数”的定义即可判断；

（2）故点E（3，1），将B、E的坐标代入y＝，即可求解；

（3）由（2）可知是的“反比例平移函数”，而且E点与B点是两函数的对应点，线段BE的中点F为由反比例函数对称中心，得四边形PEQB为平行四边形．四边形PEQB的面积为16，S△PFB＝4，利用平移对应关系先在求P1（P的对应点），即可求出P点坐标．

解：（1），则，

该函数图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到的图象，

故：函数是“反比例平移函数”；

（2）点A、C的坐标分别为、，点D是OA的中点，则点，

∴直线OB的解析式为：，直线CD的解析式为：，

联立的方程组：，

解得 ， 故点，

将B、E的坐标代入得：，解得：，

故这个“反比例平移函数”的表达式为，

故变换后的反比例函数表达式为，

故答案为：，；

（3）∵，，线段BE的中点为F，

∴，

由（2）可知：是的“反比例平移函数”，由向下左6个单位，向下2个单位可得，

∴点B与点E、点F与点O是平移的对应点，

所以存在点与所求点P对应，

如图，由反比例函数中心对称性，四边形PEQB为平行四边形．

四边形PEQB的面积为16，，

，

I.当点P在点B左侧时，设其对应点坐标为设，则在E点左侧，如图：简化构造矩形求面积得，

．

，解得：，而，

故，，故：，

点P的坐标为．

.当点P在点B右侧时，对应如图，同理可得点P的坐标为，

综上，点P的坐标为：或