Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO＝∠D；

（2）若，AE＝1，求劣弧BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；
（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得BE的长，继而求得直径与半径，再求出圆心角∠BOD即可解决问题；

（1）证明：∵OB＝OC，

∴∠BCO＝∠B，

∵∠B＝∠D，

∴∠BCO＝∠D；

（2）解：连接OD．

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴，

∵∠B＝∠D，∠BEC＝∠DEC，

∴△BCE∽△DAE，

∴AE：CE＝DE：BE，

∴，

解得：BE＝3，

∴AB＝AE+BE＝4，

∴⊙O的半径为2，

∵，

∴∠EOD＝60°，

∴∠BOD＝120°，

∴的长．