Question

【题目】如图，的内接四边形中为直径，，是的切线，交的延长线于点．

（1）如图（1）求证：；

（2）如图（2）点在弧上，连接分别交、于点、，且，求证：；

（3）如图（3）在（2）的条件下，连接分别交、于点、，，垂足为，是上一点，连接，已知，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DQ=14．

【解析】

（1）连接OB，根据切线性质∠CBP+∠OBC=90°，由OB=OC，结合三角形内角和易证∠BOC=2∠CBP，再由平行线性质可得∠BOC=∠ABO，∠COD=∠OAB，而∠OBA=∠OAB，所以∠COD=2∠CBP；
（2）由OC // AB可知∠AFE=∠DGC，将∠ADC+2∠.AFE=180°转化为∠OCD+2∠CGD=180°，即可得∠GCD=∠CDG，由等角对等边即可得到结论；
（3）连接AE、AQ，过M点作MS⊥AB于S，根据2∠ANB-∠ADQ=2∠ADB，可得四边形ABDQ为矩形，即DQ=AB，根据角的等量关系解三角形可知EF=，AE=，设TM=|x，则DT=ET=4+ x，DG=3 + x，用三角函数可导出CD=CG=4+2x，GH=1+x， CD=3x+3，即4+2x=3x+3， 可得GH=4，BF=8，AF=6，即AB=DQ=14．

（1）连接OB，

∵BP是⊙O的切线，

∴OB⊥PB，

∵∠PBO＝90，

∴∠CBP+∠OBC=90°，

∴2∠CBP+2∠OBC=180°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，

∴2∠OBC+∠BOC=180°，

∴∠BOC=2∠CBP，

∵OC∥AB，

∴∠BOC=∠ABO，∠COD=∠OAB，

∵OB=OA，

∴∠OBA=∠OAB，

∴∠COD=2∠CBP．

（2）∵OC∥AB，

∴∠AFE=∠OGF，

∵∠CGD=∠OGF，

∴∠AFE=∠DGC，

∵∠ADC＋2∠AFE＝180，

∵OD=OC∴∠GCD=∠ADC，

∴∠GCD＋2∠AFE＝180，

∵∠GCD+∠CDG+∠CGD=180°，

∴∠GCD=∠CDG，

∴CD＝CG；

（3）连接AE、AQ，过M点作MS⊥AB于S．

∵AD为⊙O直径，

∴AE⊥DE，

∴∠AED＝90，

∵OT⊥DE，

∴TE=TD，∠OTD＝90，

∴OT=，

∵OC∥AB，

∴∠AFE=∠OGT，

，

∵EF=2TG=2，

，

，

∵FM=， 即EM=，

∴AE=，

可得，tan∠EAF=，

解△AFM，可得tan∠FAM=，AF=6，

设TM=x，则

用三角函数可导出CD=CG=，

∴CD=

即

解得

∴GH=4，BF=8，AF=6

∴AB=14

∵∠ANB-∠ADB=∠CAD

又∵ 2∠ ANB-∠ADQ=2∠ADB，

∴∠ ADQ=2∠CAD，

由 (1) 可知∠BAD=2∠CAD，

∴∠ADQ= ∠BAD，

∴DQ∥AB∴四边形ABDQ的四角均为90°

∴四边形ABDQ为矩形，

∴DQ=AB=14