Question

12．矩形的一条对角线长是9cm，它与矩形一边夹角的余弦值是$\frac{1}{3}$，那么矩形的周长等于（6+12$\sqrt{2}$）cm．

Answer 1

分析 根据题意可以画出相应的图形，可以得到存在两种情况，分别求出矩形的周长，本题得以解决．

解答 解：如右图所示，
当∠ACB的余弦值为$\frac{1}{3}$时，
则cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，
∵AC=9cm，
∴BC=3cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}=6\sqrt{2}$cm，
∴矩形的周长是：3+3+$6\sqrt{2}+6\sqrt{2}$=6+12$\sqrt{2}$；
当∠BAC的余弦值为$\frac{1}{3}$时，
则cos∠BAC=$\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}$，
∵AC=9cm，
∴AB=3cm，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}=6\sqrt{2}$cm，
∴矩形的周长是：3+3+$6\sqrt{2}+6\sqrt{2}$=6+12$\sqrt{2}$（cm）；
由上可得，矩形的周长是：（6+12$\sqrt{2}$）cm，
故答案为：（6+12$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查解直角三角形、矩形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．