Question

14．2016年1月6日，我国南沙永暑礁新建港口、机场完成试航试飞，将为岛礁物资运输、人员往来、通信导航、救援补给提供便捷支持，使航行和飞行更为安全可靠．如图所示，永暑礁新建港口在A处，位于港口A的正西方的有一小岛B，小岛C在小岛B的北偏东60°方向，小岛C在A的北偏西45°方向；小岛D在小岛B的北偏东38°方向且满足∠BCD=37°，港口A和小岛C的距离是23$\sqrt{2}$km．
（参考数据：sin38°≈$\frac{3}{5}$，tan22°≈$\frac{2}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$）
（1）求BC的距离．
（2）求CD的距离．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB于E，根据正弦的定义求出CE的长，根据直角三角形的性质求出BC的长；
（2）作DF⊥BC于F，设DF=xkm，根据正切的定义用x表示出CF、BF，结合图形计算即可求出x的值，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）作CE⊥AB于E，
由题意得，∠CAE=45°，∠CBE=30°，
∴AE=CE=AC•sin∠CAE=23$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=23km，
∴BC=2CE=46km，
答：BC的距离为46km；
（2）作DF⊥BC于F，
设DF=xkm，
∴CF=$\frac{DF}{ran∠DCB}$=$\frac{4}{3}$x，
BF=$\frac{DF}{tan∠DBC}$=$\frac{5}{2}$x，
则$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{2}$x=46，
解得，x=12，
∴DF=12，CF=16，
由勾股定理得，CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=20km．
答：CD的距离为20km．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．