Question

19．如图，直径AB、CD所夹锐角为60°，点P为$\widehat{BC}$上的一个动点（不与点B、C重合），PM、PN分别垂直于CD、AB，垂足分别为点M、N．若⊙O的半径为2cm，则在点P移动过程中，MN的长是否有变化否（填“是”或“否”），若有变化，写出MN的长度范围；若无变化，写出MN的长度：$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 因为P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合），所以可以考虑特殊情况下即当PN⊥AB于圆心O时，延长PN交圆与点E，PM⊥CD，延长PM交圆于点F，连接EF，求出EF的长，得到MN的长，根据圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系得到答案．

解答 解：MN的长没有变化；理由如下：
如图所示，当PN⊥AB于圆心O时，延长PN交圆与点E，PM⊥CD，延长PM交圆于点F，连接EF，
根据垂径定理，MN=$\frac{1}{2}$EF，
∵∠AOD=120°，PN⊥AB，
∴∠PNM=30°，∠P=60°，
在Rt△PEF中，PE=4，则EF=2$\sqrt{3}$
∴MN=$\sqrt{3}$，
点P移动时，由题意得：∠P=60°，
由垂径定理，始终有MN∥EF且MN=$\frac{1}{2}$EF，
即弦长为2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\sqrt{3}$．
故答案为：否，$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理和锐角三角函数的运用，求出特殊情况下的MN的值是解题的关键，解答时，要灵活运用圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系．